Hi,
wir schreiben das System zunächst als
\( u' = u(1 - \kappa u - v) \),
\( v' = v(u - \varepsilon) \).
Die eindeutigen Lösungen ergeben sich aus
\( u(t) = u_0 \exp\left( \int_{0}^{t} (1 - \kappa u(t') - v(t')) dt' \right) \)
und
\( v(t) = v_0 \exp\left( \int_{0}^{t} (u(t') - \varepsilon) dt' \right) \),
wie man leicht überprüft. Für \( u_0, v_0 > 0 \) sind auch diese Lösungen positiv. Es bleibt die Beschränktheit der Lösungen zu zeigen.
Die Extremwerte, die Nullstellen von \( u' \) oder \( v' \) sind, können die Werte \( \hat{u} = 0 \) und \( \hat{v} = 0 \), wenn überhaupt, wegen \( u_0, v_0 > 0 \) nur für \( t \rightarrow \infty \) annehmen.
Nimmt \( v \) den Extremalwert für \( u = \varepsilon \) an, so handelt es sich um \( v_0 \). Im Inneren, \( (0, \infty) \), hat \( v \) folglich keine lokalen Maximalwerte.
Wählt man nun aber \( u_0 = \varepsilon \), dann ist \( v'_0 = v'(0) = 0 \). Weiter wähle man \( \kappa \) und \( v_0 \) so, dass \( u'_0 > 0 \) ist. \( v_0 \) kann dann wegen \( v''_0 = v''(0) = v_0 u'_0 > 0 \) kein Maximum sein. Es ist ein Minimum. Da aber \( v_0 > 0 \) ist und es im Inneren, \( (0, \infty) \), keine weiteren Umkehrstellen (Extremwerte) von \( v \) gibt, muss \( v \) folglich unbeschränkt sein.
Wir haben also (scheinbar) einen Fall konstruiert, in dem \( v \) unbeschränkt ist.
Mister
