Skaliertes Volterra-Lotka-System mit Sättigung

Question

bei folgender Aufgabe zu Gewöhnlichen Differentialgleichungen komme ich einfach nicht weiter:

Das skalierte Volterra-Lotka-System mit Sättigung lautet

$u'= u-\kappa u^2-uv$

$v'= - \epsilon v + uv$

Dabei sind $\kappa >0$ und $\epsilon > 0$ Konstanten. Zeigen Sie, dass dieses System für Anfangswerte $u(0) = u_0>0, v(0)=v_0>0$ eindeutig bestimmte Lösungen besitzt, die für t ≥ 0 positiv bleiben und dort global existieren.

Vielen Dank

Answer 1

Hi,

wir schreiben das System zunächst als

$u' = u(1 - \kappa u - v)$,
$v' = v(u - \varepsilon)$.

Die eindeutigen Lösungen ergeben sich aus

$u(t) = u_0 \exp\left( \int_{0}^{t} (1 - \kappa u(t') - v(t')) dt' \right)$

und

$v(t) = v_0 \exp\left( \int_{0}^{t} (u(t') - \varepsilon) dt' \right)$,

wie man leicht überprüft. Für $u_0, v_0 > 0$ sind auch diese Lösungen positiv. Es bleibt die Beschränktheit der Lösungen zu zeigen.

Die Extremwerte, die Nullstellen von $u'$ oder $v'$ sind, können die Werte $\hat{u} = 0$ und $\hat{v} = 0$, wenn überhaupt, wegen $u_0, v_0 > 0$ nur für $t \rightarrow \infty$ annehmen.

Nimmt $v$ den Extremalwert für $u = \varepsilon$ an, so handelt es sich um $v_0$. Im Inneren, $(0, \infty)$, hat $v$ folglich keine lokalen Maximalwerte.

Wählt man nun aber $u_0 = \varepsilon$, dann ist $v'_0 = v'(0) = 0$. Weiter wähle man $\kappa$ und $v_0$ so, dass $u'_0 > 0$ ist. $v_0$ kann dann wegen $v''_0 = v''(0) = v_0 u'_0 > 0$ kein Maximum sein. Es ist ein Minimum. Da aber $v_0 > 0$ ist und es im Inneren, $(0, \infty)$, keine weiteren Umkehrstellen (Extremwerte) von $v$ gibt, muss $v$ folglich unbeschränkt sein.

Wir haben also (scheinbar) einen Fall konstruiert, in dem $v$ unbeschränkt ist.



Mister