Verknüpfungen Wohldefiniert zeigen

Question

kann mir vielleicht jemand bei folgender Aufgabe helfen? Ich bin damit etwas überfragt..

Aufgabe:

Sei (K,+,*) ein Körper und K[x] der zugehörige Polynomring. f(x) ist ein beliebiges Polynom und I = {g(x) ∈ K[x] | g(x) ≡ 0 mod f(x)}. Sei die Nebenklasse von einem Polynom g(x) g(X)I.

Zeigen Sie, dass die Verknüpfungen auf K[x]/I wohldefiniert sind: 

g₁(x)I + g₂(x)I = (g₁(x)+g₂(x))I

g₁(x)I * g₂(x)I = g₁(x)g₂(x)I

Vielen Dank vorab! 

Answer 1

Du musst ja nur zeigen, dass das Ergebnis der Verknüpfung nicht von dem gewählten Vertreter

aus der Klasse abhängt.

 Seien also g1(x)I und  g2(x)I  zwei solche Klassen

und a,b Vertreter der 1. Klasse und c,d Vertreter der 2. Klasse.

Dann sind a und b beide kongruent 0 mod f  ,

also ihre Differenz Vielfaches von , es gibt also ein p∈ K[x]  mit a-b=p*f

Entsprechend auch ein q∈ K[x]  mit c-d=q*f.      #

Für die Summenklasse  (g1(x)+g2(x))I kann ich also

die Klasse von a+c  oder auch die von b+d nehmen.

Das muss aber beides das gleiche Ergebnis geben, also

a+c und b+d müssen kongruent 0 mod f sein.

Dem ist so; denn (a+c) - (b+d)

= (a-b) + (c-d)    und siehe #

= p*f    +   q*f

= (p+q) * f     ≡  0 mod f.    q.e.d.

Für * entsprechend.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Rückmeldung!

Betrachten wir bei der Multiplikation dann die Vertreter a,b,c und d mit den Eigenschaften, dass es also ein

p∈ K[x]  mit a/b=p*f und auch

ein q∈ K[x]  mit c/d=q*f gibt?

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Nein, gleiche Eigenschaft wie vorher, das heißt ja nur:

Die sind in der gleichen Klasse.

Und bei * läuft es darauf hinaus, dass du statt

(a+c) - (b+d) nun (a*c) - (b*d)

betrachten muss und zeigen, dass das

kongruent 0 mod f ist.