Direkter Beweis |a+b| + |a-b| >= |2a|

Question

Aufgabe:

Beweise auf direktem Weg, dass

|a+b| + |a-b| >= |2a|

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich daran? Ich habe es mit der dreiecksungleichung versucht, aber die hat mich nur auf

|a+b| + |a|-|b| <= 2|a| geführt, was mMn eine Sackgasse ist.

Answer 1

Vier Fälle müssen unterschieden werden:

1) a>0 und b<a

2) a>0 und a<b

3) a>0 und b<a

4) a>0 und a<b

In jedem Falle muss ohne Betragsstriche (nach entsprechender Umformung) durchgerechnet werden.

Comments

Oh, vielen dank!

Answer 2

|a+b| + |a-b| >= |2a|

Beide Seiten sind nicht negativ, also ist quadrieren eine

Äquivalenzumformung und gibt

<=>  (|a+b| + |a-b| )^2 >= |2a|^2  = 4a^2

<=>  |a+b| ^2  + 2|a+b|* |a-b| + |a-b| ^2  >=  4a^2

<=>  (a+b)^2 + 2|a+b|* |a-b| + (a-b) ^2  >=  4a^2

<=>  a^2 + 2ab +b^2 + 2|a+b|* |a-b| + a^2 - 2ab + b^2  >=  4a^2

<=>  2b^2 + 2|a+b|* |a-b|   >=  2a^2

<=>      |a+b|* |a-b|   >=  a^2-b^2

<=>      |a+b|* |a-b|   >=  (a+b)*(a-b)

Und das Produkt zweier Zahlen ist

immer kleiner oder gleich dem Produkt

ihrer Beträge.   q.e.d.

Answer 3

Mit der Dreiecksgleichung folgt doch sofort

|2a|=|a+a|=|a+b-b+a|=|(a+b)+(a-b)|≤|a+b|+|a-b|

Die Hauptidee ist das geschickte Einfügen einer Null. Hier 0=b-b.