Direkter Beweis - Wenn - Dann - Summen

Question

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Abgabeaufgabe 8.5: (Direkter Beweis - Wenn- Dann - Summen)
Beweisen Sie:
\( \forall n \in \mathbb{N}: \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4} \rightarrow \sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3}=\frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \)

Aufgabe:

Beweisen sie

Answer 1

Es sei n∈ℕ mit \(\sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4}  \) #

==>

\(\sum \limits_{k=1}^{n+1} k^{3}= ( \sum \limits_{k=1}^{n} k^{3}) + (n+1)^3 \)

Wegen # also

\( =  \frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}}{4}  + (n+1)^3=\frac{n^{2} \cdot(n+1)^{2}+4(n+1)^3 }{4}\)

\( =  \frac{(n+1)^{2}(n^2+4(n+1)) }{4} = \frac{(n+1)^{2}(n^2+4n+4)}{4}  = \frac{(n+1)^{2} \cdot(n+2)^{2}}{4} \)  q.e.d.