Beweise, dass ''A = Span A '' äquivalent zu ''A ist ein Unterraum von V''

Question

Ich muss einige Regeln beweisen zum Thema Span  Vektorraum beweisen. Könnte jemand kurz die folgende Aufgabe  Schritt für Schritt mit Erklärung lösen. Dadurch kann ich dann die Beweismethode bzw. Notation auf die anderen Regeln transferieren und sie selbst lösen.

$$\text{Es seien K ein Körper, V ein K-Vektorraum, } A,B \subset  V \land v\in V \\\text{ Beweisen Sie die folgenden Regeln für das Erzeugnis:} \\[10pt] A= \text{Span}A \Longleftrightarrow A \text{ ist ein Unterraum von V}$$

Answer 1

A=SpanA⟺A ist ein Unterraum von V

Kommt so ein wenig auf die Definition an.

wenn du z.B. diese hast

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Hülle#Andere_Definitionen

zu " ==>"   Wenn der kleinste Unterraum, der A enthält gleich a

ist, Dann ist eben A ein Unterraum.

umgekehrt "<=="  Wenn A ein Unterraum ist, dann ist es

der kleinste, der A enthält.

Comments

Ich verstehe...

Also meine Beweisführung wäre etwas wie folgt dann:

$$\Longrightarrow \\\{min\{UR;A \subset UR\}=a \}\Longrightarrow \text{ A ist ein Unteraum} \\\Longleftarrow \\ \text{ A ist ein Unteraum} \Longrightarrow \exists! \{min\{UR;A \subset UR\}$$