Zeigen, dass die Abbildung eines Körpers mit 2 Elementen durch ein Polynom vom zweiten Grad realisiert werden kann?

Question

Hallo erst mal ,

ich sitze hier schon seit 1 stunde und komme nicht voran , hoffe hier kann mir jemand helfen.

P.s ich glaube die Aufgabe ist net so schwer ich sehe nur net den Wald vor lauter Bäumen.

Aufgabe:

Sei K = {0, 1} der Körper mit zwei Elementen. Zeigen Sie, dass jede Abbildung f : K → K durch ein Polynom vom
Grad 2 realisiert werden kann, d.h. es gibt ein Polynom p(t) = t2 + a1t + a0 ∈ K[t] mit f (x) = p(x) für alle x ∈ K.
Hinweis: Sie können K auch als Z2 auffassen.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir bereits Operationstafeln dazu gemacht um mit den Sachverhalt selbst zu veranschaulichen.

Meine erste Frage wäre muss ich zeigen das die Formel p(t) allg. Gültig ist oder muss ich nur ein Polynom finden welches passt ?  Oder kann es sein das ich die Aufgabe missverstanden habe ?

Comments

Tipp: Es gibt nur vier Abbildungen. Z.B. ist p(t) = t² + t die Nullabbildung.

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Erstmal danke für die schnelle antwort.

Die vier sind ja

0 -> 0

0 -> 1

1 ->0

1 ->1

Muss ich dann als antwort die 4 polynome nennen und beweisen oder muss ich noch was beachten ?

Answer 1

a_0 ist f(0), da 0^2 = a_1 *0 = 0

d.h p(x) = x^2 +a_0*x +f(0)

Da 1 ^2 = 1 und 0^2 = 0 ,gilt dass, x^2 = x und somit

P(x) = x + a_0*x +f(0) = x*(1+a_0) +f(0)

P(1) =1 +a_0 +f(0) = f(1)

a_0 = f(1) -f(0) -1

Somit haben wir das Polynom

P(x) = x^2 + (f(1)-f(0)-1)*x + f(0)

Comments

Muss ich nicht 4 Polynome aufstellen oder ist das so richtig wie du es gemacht hast das du am ende ein allg. stehen hast ?