Konvergenz und Grenzwert ermitteln.

Question

Untersuchen Sie folgende Zahlenfolgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:

d_n = (1 + \( \frac{1}{\sqrt{n}} \))ⁿ

f_n = \( \sqrt{n} \)( \( \sqrt{n+1} \) - \( \sqrt{n} \))

Komme mit den beiden Aufgaben leider gar nicht zurecht. Würde mich über eure Hilfe freuen.^^

Answer 1

Tipp:

d) Vergleiche mit der Defintion der eulerschen Zahl

f) Erweitere mit der 3. binomischen Formel.

D.h. *(√(n+1) + √(n))  oben und unten.

Comments

Dass mit der eulerschen Zahl dacht ich mir shcon son bissl, nur mit der Wurzel konnte ich irgendwie nix anfangen.

Ich hab hier gerade ne Seite gefunden die sowas scheinbar ausrechnen kann...

Für dn: https://www.emathhelp.net/rechner/infinitesimalrechnung-1/grenzwert-rechner/?f=%281+%2B+1%2Fsqrt%28n%29%29%5En&var=&val=inf&dir=&steps=on

demnach wäre die Folge ja divergent?

Für fn: https://www.emathhelp.net/rechner/infinitesimalrechnung-1/grenzwert-rechner/?f=sqrt%28n%29%28sqrt%28n%2B1%29-sqrt%28n%29%29&var=&val=inf&dir=&steps=on

demnach wäre die Folge konvergent und GW bei 1/2?

Werd mir das nochmal bisschen genauer ansehen.

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Vielleicht mit den Potenzgesetzen?

n = √(n) * √(n)

a^(√(n)*√(n)) = ( a^(√(n))^(√(n))

Das läuft dann vermutlich auch auf divergent heraus. Vergleiche die Resultate der Seite, die du gefunden hast, noch mit jenen auf Wolframalpha.com . So hast du einen Vergleich, falls du deinem Link nicht so ganz traust.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+((1+%2B+1%2F+sqrt+(n))%5En)