Grenzwert von Folge (7x-√x^3)/(x+√x) ermitteln - Konvergenz?

Question

wieso ist diese Folge nicht konvergent?

(7x-√x³)/(x+√x)

Answer 1

Hallo like,

es handelt sich um eine Folge, daher x∈ℕ 

lim_x→∞  ( 7x - √x³ ) / ( x +√x ) 

        Man will die höchste x-Potenz des Nenners (also x) ausklammern und dann kürzen: 

 =  lim_x→∞    ( 7x - x * √x ) / ( x + x / √x )  

 =  lim_x→∞   [  x * ( 7 - √x ) ] / [ x * ( 1 + 1 /√x ) ]  

 =  lim_x→∞    ( 7 - √x ) / ( 1 + 1 /√x )  =  " - ∞/ 1 "  =  - ∞ 

Gruß Wolfgang 

Comments

Was machst du genau in deinem ersten schritt?

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Ich habe 

√x³ = √(x² * x)   =  x * √x    und   √x = (√x)² / √x =  x / √x

umgeschrieben, damit man besser erkennen kann, dass man x ausklammern kann.

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Warum wird aus (x+√x) in deinem nächstens Schritt (x+(x/√x))?

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 Durch genaues Hinsehen :-)  

  √x  =  ....    =   x / √x 

 (x + √x)  = (x + (x/√x))         

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Ist also Wurzel x das gleiche wie x*√x?

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I> st also Wurzel x das gleiche wie x*√x?

Nein,

√x hat den gleichen Wert wie  x / √x

so steht es oben.

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Und woher entnimmst du es?

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x = (√x)²  →   x / √x = √x 

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9 = (√9)²   ;    9 / √9 = √9

9 = 3²        ;    9 / 3  = 3   

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immer noch immer wieder gern :-)

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Kurze Frage noch:

Hätte ich auch √n³ ausklammern können?

Also √n³ (7*(1/√n)-1)/ (√n³  ((1/√n) + (1/√n))

Nur dann streiche ich ja √n^{3 und dann hab ich nur noch} 

7*(1/√n)-1)/   ((1/√n) + (1/√n) darstehrn, aber das geht ja gegen null oder?

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Nein. Wenn du im Nenner x^3/2 also mehr als die höchste Nennerpotenz  ausklammerst, ergibt sich unten 0 (wie du es angedeutet hast)

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Kann mich echt nicht oft genug bedanken!

Answer 2

(7x-√x³)/(x+√x) = (7(√x)^2-(√x)³) / ((√x)^2+√x)

Warum sollte sie?
Ersetze ggf. zur Verdeutlichung (√x) =: z.