Untersuchen Sie die Folgen reeller Zahlen auf Konvergenz und bestimmen Sie ihren Grenzwert

Question

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen reeller Zahlen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

$$ i) a _ { n } : = \frac { 6 n ^ { 2 } + 3 n - 4 } { 1 + n ^ { 2 } } $$

$$ ii) b _ { n } : = \frac { n ^ { 2 } - 1 } { n + 3 } + \frac { n ^ { 3 } + 1 } { n ^ { 2 } + 1 } $$

$$ iii) c _ { n } : = \sum _ { k = 1 } ^ { n ^ { 2 } } \frac { k } { n ^ { 4 } } $$

$$ iv) d _ { n } : = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \left( 1 + \frac { 1 } { k } \right) $$

Answer 1

i) a_n =(6n^2 +3n-4)/(1+n^2) =(6*(n^2+1) +3n -10)/(1+n^2) = 6 +(3n-10)/(1+n^2) → 6

ii)b_n = (n^2-1)/(n+3) +(n^3+1)/(n^2+1) > (n^2-1)/(2n) + (n^3 +1)/(2*n^2) (für n > 3)

>(n+1)(n-1)/(2n+2) + n^3/(2n^2) = (1/2)*(n-1)+n*(1/2) =n -1/2 → unendlich

iii)c_n =\( \sum\limits_{k=1}^{n^2}{k/n^4} \)  = (1/n^4) * \( \sum\limits_{k=1}^{n^2}{k} \) = (1/n^4) * (n^2+1)*(n^2)/2 = (n^2+1)/(2*n^2) = 1/2 + 1/(2*n^2) →1/2

iv) Nimm den ln(d_n) diese Folge konvergiert genau dann wenn d_n konvergiert (aber nicht gegen Null) , da der ln Stetig ist und der Limes somit vertauscht werden darf.

ln(d_n) = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{ln(1+1/k)} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{ln((k+1)/k)} \) = \( \sum\limits_{k=1}^{n}{ln(k+1)-ln(k)} \)  =

= ln(n+1)-ln(1) = ln(n+1)

ln(d_n) geht gegen unendlich somit geht auch d_n gegen unendlich