Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenfalls ihren Grenzwert

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenfalls ihren Grenzwert

1)

A_n = ((n^5) / ( 3n^4+2n^3-1)) - (( 3n^4) / ( 9n^3+1))

2) folgt, 1enn ich sie versucht habe zu bearbeiten

Problem/Ansatz:

Habe ich das so richtig bearbeitet oder existieren Fehler?

Wie löse ich die Aufgabe? 

Answer 1

-6/27 ist richtig, würde ich aber noch kürzen  -2/9

Comments

Ich danke dir vielmals für die Antwort:)

Hier Aufgabe  Nummer 2

Wie bekomme ich dies hier ausgerechnet? Ist dies soweit richtig? 

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Du hättest besser mit der Summe statt mit der Differenz erweitert.

Dann bekommst du

(-2n^4 + n^2 ) / ( n*√(n^6 + 1) +  n^2 *√(n^4 + 1) )

= (-2n^4 + n^2 ) / ( n^4*√(1 + 1/n^6 ) + n^4 *√(1 + 1/n^4) )

= (-2 + 1/n^2 ) / (√(1 + 1/n^6 ) + √(1 + 1/n^4) ) 

Für n gegen unendlich geht der Zähler gegen - 2 und

der Nenner gegen 2,

also Grenzwert insgesamt -1 .

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"Du hättest besser mit der Differenz statt der Summe erweitert."

Er hätte besser mit Summe statt mit der Differenz erweitert. Dann wäre die Rechnung, die jetzt völlig falsch ist, wenigstens richtig gewesen.

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Was genau ist jetzt falsch?

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Da hatte ich in der Tat Murks gemacht. Habe meinen

Kommentar jetzt korrigiert und denke, dass es

nun stimmt.

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kannst du mir die Rechnung bitte nochmals genauer erklären? bin noch nicht so ganz dahinter gekommen..

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Ich schreibe es mal was schöner:

$$\frac{( n*\sqrt{n^6 + 1} -  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  ) *( n*\sqrt{n^6 + 1} +  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  ) }{( n*\sqrt{n^6 + 1} +  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  )}$$

3. binomi. Formel gibt:

$$\frac{( n*\sqrt{n^6 + 1})^2 - ( n^2 *\sqrt{n^4 + 2})^2   }{( n*\sqrt{n^6 + 1} +  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  )}$$

$$=\frac{ n^2*(n^6 + 1) -  n^4 *(n^4 + 2)  }{( n*\sqrt{n^6 + 1} +  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  )}$$

$$=\frac{ n^8+n^2 -  (n^8 + 2n^4)  }{( n*\sqrt{n^6 + 1} +  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  )}$$

$$=\frac{ n^2 -  2n^4  }{( n*\sqrt{n^6 + 1} +  n^2 *\sqrt{n^4 + 2}  )}$$

und dann weiter wie oben in jeder Wurzel die n-Potenz n^6 bzw. n^4

ausklammern und rausziehen:

= (-2n^4 + n^2 ) / ( n^4*√(1 + 1/n^6 ) + n^4 *√(1 + 1/n^4) )

und dann mit n^4 kürzen

= (-2 + 1/n^2 ) / (√(1 + 1/n^6 ) + √(1 + 1/n^4) ) 


Für n gegen unendlich geht der Zähler gegen - 2 und

der Nenner gegen 2,

also Grenzwert insgesamt -1 .

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Ich hab jetzt parallel dazu ne andere Aufgabe mit dem gleichen Schema bearbeitet.

Ist dies soweit richtig?

Weiter habe ich leider wieder Probleme..  

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Außerdem habe ich zur ersten Aufgabe auch eine weitere Aufgabe gelöst, bei der ich eig denke, dass diese so richtig ist, oder? 

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Zu dem ersten Blatt:

Da ist auch was schief gegangen, da bist du mit der

3, Binom. Formel durcheinander gekommen:

Die geht doch so

(a - b ) * ( a+ b )

Für den Zähler des Bruches bedeutet das :

Es ist a= n^2 * √(4n^4 - 1 ) und

b= (4n^4 - 1 )

Die Formel macht daraus a^2 - b^2 .

Das a^2 hast du richtig, aber b^2 ist dann ja (2n^4 - 1 ) ^2

und darauf musst du dann natürlich die 2. binomi. Formel

anwenden und hast dann insgesamt im Zähler deines Bruches

n^4 * (4n^4 - 1) - ( 4n^8 - 4n^4 + 1 )

und das gibt dann 4n^8 - n^4 - 4n^8+ 4n^4 - 1

also für den gesamten Bruch dann

(  3n^4 - 1 )     /       (( n^2 * √(4n^4 - 1) + (2n^4 - 1 ) )

und jetzt wieder im Nenner aus der Wurzel ein n^2 rausziehen gibt

(  3n^4 - 1 )     /       (( n^4 * √(4  - 1 /n^4) + (2n^4 - 1 ) )

und dann im Zähler und  Nenner n^4 ausklammern und kürzen

(  3 - 1/n^4 )     /       (( √(4  - 1 /n^4) + (2- 1/n^4 ) )

gibt also Grenzwert 3 / ( √4    +   2 )  =   3/4.

Beim  zweiten ist leider auch was falsch im 2. Schritt.

Du hast nicht bedacht, dass vor dem 6n^6*(2n^3+n^2+1) ein

Minus ist. Beim Auflösen der Klammer gibt das also

…… -12n^9 - 6n^8 - 6n^6 .

Ich komme am Ende auf Grenzwert  1/4.

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Wäre dies so richtig?

Bin jetzt  auf die Ergebnisse gekommen, hoffe aber auch das die Rechnung  stimmt 

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Bei dem ersten hast du nur das Kürzen mit den n^8 vergessen,

das würde ich gekürzt noch mal hinschreiben, damit der Grenzwert

begründet ist.

Beim zweiten ist was falsch:

Wenn du in der Wurzel n^4 ausklammerst,

gibt das außerhalb der Wurzel nur n^2 .

Also statt n^6 muss es da n^4 heißen und dann kannst du

auch hier kürzen und es stimmt.

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danke dir, das 2. Blatt hab ich jetzt save !

aber wo genau hab ich jetzt vergessen mit n^8 zu kürzen? :)

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Du schreibst am Schluss

lim ….   (da steht oben noch n^8 und unten einmaln^3 und n^5.

Du musst das dann nochmal hinschreiben gekürzt, also

lim …  ohne das n^8 und die beiden unten und

dann kannst du auch getrost weiter schreiben

= 2/8   etc.

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Noch eine kleine Frage .. n^4*2n, wäre das dann 2n^5? 

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Ja, so ist es.

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Wie kann ich das beenden?

Ist das soweit richtig? 

Answer 2

n^5/(3·n^4 + 2·n^3 - 1) - 3·n^4/(9·n^3 + 1)

= (- 6·n^7 + n^5 + 3·n^4) / (27·n^7 + 18·n^6 + 3·n^4 - 7·n^3 - 1)

lim x --> ∞ = -6/27 = -2/9

Du hast das also soweit richtig bearbeitet. Man kann aber noch kürzen.

Comments

Danke dir ! :)

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Wäre dies auch so richtig? 

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Wolfram bekommt etwas anderes heraus

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+n-%3Einf+(4n%5E5-2n%5E4%2B1)%2F(n%5E3%2B4n%2B2)-(8n%5E7-4n%5E6)%2F(2n%5E5-1)

Mit der Wolfram App kann man sich das sogar schrittweise lösen lassen.

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Warum sagst du nicht einfach: "Du hättest im Zähler besser gleich n⁸ ausgeklammert und nicht nur n⁵"?

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Weil es für Fragesteller hilfreich sein kann mal selber nach dem Fehler zu schauen.

Denn auch Fehler suchen, was du wohl kannst, will gelernt sein.

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Du hättest in der vierten Zeile im Zähler den höchsten Exponenten, nämlich n^8, ausklammern und im Nenner n^3 * n^5  = n^8 ausmultiplizieren sollen. Dann könntest du n^8 kürzen.

Ich denke den dann folgenden Rest schaffst du alleine.