Beweis zur Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit f^n = Identität

Question

Aufgabe:

In der Aufgabe geht es darum zu zeigen, dass der Endomorphismus f diagonalisierbar ist, falls ein n aus den natürlichen Zahlen existiert, sodass f^n = Identität von V.
Dabei ist V ein C-Vektorraum.

Problem/Ansatz:

Ich steh hier leider ziemlich auf dem Schlauch. Ich kann aus den gegebenen Informationen ja sagen dass x^n-1 = 0 sein muss aber gibt mir das irgendwelche Informationen im Bezug aufs mpf oder cpf?

Normalerweise würde ich ja zeigen dass alg Vfh = geom. Vfh ist, wie mache ich das hier?

Answer 1

Hallo Maxi, ich kann dir lediglich einen Tipp geben, was mit Matrizen los ist.  Vlt. kannst du das dann auf Endomorphismen übertragen.  Mehr weiß ich leider nicht.  Also:

Nehmen wir an, die Matrix A ist diagonalisierbar.  Dann ist sie darstellbar als A = V*D*V^-1.  Nehmen wir weiter an, Aⁿ = E.  (Einheitsmatrix.)  Dann ist Aⁿ = … = V * Dⁿ * V^-1 = E.  =>  Dⁿ = E  =>  Die Diagonalelemente von D sind alle n-te komplexe Wurzeln von 1.