Diagonalisierbarkeit einer Matrix mit zwei Parameter bestimmen

Question

Aufgabe:Für welche a,b ist die Matrix $$ \begin{pmatrix} 0&1\\-a^2&-2b \end{pmatrix}$$ diagonalisierbar?

Problem/Ansatz:

Ich habe das charakteristische Polynom berechnet

Die mir bekannten Bedingungen der Diagonalisierbarkeit sind:

1. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren
2. Die geometrischen und algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte stimmen überein

Allerdings weiß ich nicht wie man explizit Werte für a und b bestimmen soll

Ich hoffe einer von euch kann mir weiterhelfen.


Mit freundlichen Grüßen

Ralf

Answer 1

\(A=\begin{pmatrix}0&1\\-a^2&-2b\end{pmatrix}\).
Für \(a=0\) ist \(A\) offenbar genau dann diagonalisierbar, wenn \(b\ne0\) ist.
Im Folgenden gelte \(a\ne0\).
Das charakteristische Polynom lautet \(p_A(t)=t^2+2bt+a^2\).
Die zugehörige Diskriminante lautet \(b^2-a^2\).
Wenn \(b^2<a^2\) ist, zerfällt \(p_A\) nicht in Linearfaktoren und \(A\) ist nicht diagonalisierbar.
Wenn \(b^2>a^2\) ist, hat \(A\) zwei verschiedene Eigenwerte und ist diagonalisierbar.
Wenn \(b^2=a^2\) ist, ist \(-b\) ein doppelter Eigenwert von \(A\) und es ist
\(\operatorname{Rang}(A+bE_2)=\operatorname{Rang}\begin{pmatrix}b&1\\-b^2&-b\end{pmatrix}=1\),
und \(A\) ist nicht diagonalisierbar.

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich habe es jetzt verstanden :).


Grüße

Ralf