1.Fall Folge ist unbeschränkt, somit ist klar, dass es eine monotone Teilfolge gibt.
2.Fall Folge ist beschränkt nach dem Satz von Bolzano Weierstaß gibt es eine konvergente Teilfolge a_k_n die gegen a konvergiert. Es gilt, dass mindesten eine der Mengen A = {a_k_n | n ∈ℕ ^ a_k_n > a},B={a_k_n | n ∈ℕ ^ a_k_n = a},C= {a_k_n | n ∈ℕ ^ a_k_n <a} unendlich viele Elemente besitzt. Wenn A nun unendlich groß ist nehmen wir {b_n}_n∈ℕ = A∩{a_n}_n∈ℕ. Wir definieren die Folge c_n = b_k_n rekursiv durch c_0 = b_0 und k_(n+1) = min{ l ∈ ℕ | b_l < c_n ^ l > k_n} (Zeigen sie, dass dies immer existiert)
Änlich kann dies für den Fall,dass C unendlich viele Elemente besitzt gemacht werden.
