Jede Folge (an) reeller Zahlen enthält eine monotone Teilfolge.

Question

Beim Durchlesen des Analysis I Skripts bin ich auf folgendes gestossen:

 

Satz 9. Jede Folge (an) reeller Zahlen enthält eine monotone Teilfolge.

Beweisidee: Wir nennen eine natürliche Zahl m eine Gipfelstelle, wenn an < am für alle n > m. Wenn es unendlich viele Gipfelstellen gibt, so bilden diese eine monoton fallende Teilfolge. Wenn es nur endlich viele Gipfelstellen gibt, so gibt es eine monoton wachsende Teilfolge.

 

Um mir das zu erklären, habe ich mir Beispielfolgen überlegt.

an=1000-n hat unendlich viele Gipfelstellen, da an<am für m>n

an=2ⁿ hat keine Gipfelstelle, da an nie kleiner als am ist

 

Ich komme aber auf keine Beispielfolge, die eine begrenzte Anzahl an Gipfelstellen hat die mehr als 0 sind und es gibt doch auch Folgen, die sinken und später steigen. Dann müsste ja auf eine unendliche Anzahl an Gipfelstellen eine endliche Anzahl an Gipfelstellen kommen? Kann mir dass einer erklären?

Answer 1

Betrachte z.B. die Folge

a₁ = 1

a_n = 1 - 1/n  für n>1.

Sie hat eine einzige Gipfelstelle (nämlich a₁=1) und ist danach monoton steigend.

 

Damit eine Gipfelstelle die letzte ist, gibt es keine andere Möglichkeit, als dass eine Teilfolge existiert, die von unten gegen den Wert der Gipfelstelle konvergiert, wie im oberen Beispiel zu sehen.

Um das zu verstehen, hilft die folgende Überlegung:

Damit m eine Gipfelstelle ist, muss für alle n>m gelten: a_n<a_m. Damit m die letzte Gipfelstelle ist, muss außerdem für alle n>m gelten:

Für jedes n>m existiert ein k>n, mit der Eigenschaft: a_k>a_n. Das ist aber bereits die Definition der Teilfolge, da dieses größere Element dann auch für das a_k existieren muss. Diese Teilfolge ist monoton wachsend.