Vektoren (Lineare Hüllen)

Question

Aufgabe:

Sei eine Menge E = {v1,...,vm}  Teilmenge aus R hoch n gegeben. Sei weiter F =  {w1,...wk} Teilmenge  aus [E] eine Teilmenge der linearen Hülle von E. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind:

1.) [F] Teilmenge aus [E],

2.) Wenn  E Teilmenge aus [F], dann gilt [F] = [E].

(Mit den Klammern um F und E ist eine lineare Hülle gemeint.)

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, das ic  die Aufgabenstellung leider schon gar nicht verstehe.

Wie man mit normalen Vektoren/Untervektoren rechnet habe ich mitlerweile schon mehr oder weniger verstanden, aber wie das hier bei dieser Aufgabe funktionieren soll, weiß ich leider überhaupt nicht.

Muss man hier auch auf Abgeschlossenheit, leere Menge und Distributivgesetz prüfen?

Answer 1

1)DIe lineare Hülle von E ist definiert als {a_1 * v_1 + ....+  a_m * v_m | a_1,...,a_m ∈ ℝ}, dass heißt wenn F eine Teilmenge von [E] ist kann man alle Vektoren w_i in F als w_i = ai_1 * v_1 + ....+  ai_m * v_m schreiben. [F] besteht nun wieder aus solchen Kombinationen von w_k ( Linearkombinationen), die w_k kann man aber wieder als Linearkombination der Vektoren v_1,..v_m schreiben somit gilt, dass jede Linearkombination der Vektoren in F als Linearkomination der Vektoren in E schreiben und somit gilt

[E] ⊆ [F]

2) Wenn E ⊆ [F] ist, dann gilt nach 1 , dass [E] ⊆ [F] und [F] ⊆ [E] und somit, dass [E] = [F]

Comments

Danke jetzt hab ich glaub verstanden :)