Aufgabe:
Gegeben sind drei Ebenen:
E1 : 4x - 3y - rz = 0
E2: -1x +7y + rz = 50
E3: rx - 4z = 6r
(r ist eine reelle Zahl)
und ein Punkt A = (6,8,0)
a) Welche Bedingungen muss r erfüllen, damit die drei Ebenen nur diesen Punkt gemeinsam haben?
b) Die Ebenen haben im Fall r = 5 eine Gerade g gemeinsam. Stellen Sie eine Gleichung dieser Geraden g auf.
c) Weisen Sie nach, dass g auf a, dem Ortsvektor zum Punkt A, senkrecht steht.
d) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F, bezüglich der der Ursprung 0 und der Punkt A Spiegelpunkte zueinander sind.
e) Zeigen Sie, dass F und die Gerade g keinen Punkt gemeinsam haben.
Problem/Ansatz:
a) Bei a habe ich raus, dass r nicht 5 oder -5 sein darf, da es dann unendlich viele Lösungen des Gleichungssystems gibt und die Ebenen somit eine Schnittgerade besitzen.
b) Bei b habe ich r = 5 gesetzt und habe die Geradengleichung (6/8/0) + t*(0,8/-0,6/1) raus
c) Ich habe das Skalarprodukt zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Ortsvektor des Punktes A berechnet und habe dort 0 rausbekommen
d) Hier komme ich nicht mehr weiter. Mein Ansatz war, dass ich den Mittelpunkt des Vektors A als Punkt der Ebene genommen habe, die ich bestimmen will. Der Punkt muss also in der Ebene liegen. Der Normalenvektor der Ebene muss dann ja Senkrecht zum Punkt A sein. Ich kriege es hin, eine Ebene zu bestimmen aber das Problem ist, dass ich dann bei f rauskriege, dass die Gerade und die Ebene einen Punkt gemeinsam haben.
Hier ist mein Ansatz. Punkt S = Mittelpunkt des Vektors OA = (3/4/0)
Normalenvektor der Ebene = (4/-3/2)
Mithilfe des Punktes S und des Normalenvektors komme ich dann auf die Gleichung 4x - 3y + 2z = 0 , da der Punkt ja in der Ebene liegen muss.
Wenn ich die Gleichung der Geraden aber in die Ebene einsetze, bekomme ich t = 0 raus. Das heißt ja, dass die Ebene und die Gerade einen Schnittpunkt haben.
