Wie hoch ist die Menge x1 n diesem Kostenminimum?

Question

Die Nutzenfunktion eines Individuums lautet U(x1,x2)=75⋅ln(x1)+80⋅ln(x2). Gegeben sind die Preise der beiden Güter p1=9 und p2=7. Minimieren Sie die Kosten des Individuums, wenn ein Nutzenniveau von 840 erreicht werden soll.

Wie hoch ist die Menge x1 n diesem Kostenminimum?

Ich komme auf 45.16 jedoch stimmt dies nicht? Wie ist der Lösungsweg? Danke vielmals

Und geht das auch ohne Lagrange?

Answer 1

Schau mal ob folgende Lösung richtig ist

https://www.wolframalpha.com/input/?i=min+9x%2B7y+with+75*ln(x)%2B80*ln(y)%3D840,x%3E%3D0,y%3E%3D0

min{9 x + 7 y|75 log(x) + 80 log(y) = 840 ∧ x>=0 ∧ y>=0}≈3567.05 at (x, y)≈(191.777, 263.009)

Comments

Wie kann ich das mit dem Taschenrechner schnell berechnen?

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Die Gleichung 75·LN(x) + 80·LN(y) = 840 nach einer Unbekannten auflösen und in die Kostenfunktion einsetzen. Dann die Kosten minimieren indem die erste Ableitung gleich Null gesetzt wird.

y = e^(21/2)/x^(15/16)

K = 9·x + 7·e^(21/2)/x^(15/16)

K' = 9 - 105·e^(21/2)/(16·x^(31/16)) = 0 --> x = e^(168/31)·(35/48)^(16/31) = 191.7771386

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Das ist sehr kompliziert.. kann man das nicht mit dem Lagrage Ansatz lösen ?

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Doch kannst du . Lagrange ist aber in diesem Fall etwas schwieriger, weil du mind. zwei Partiellle Ableitungen bilden musst und dann auch noch ein Gleichungssystem Lösen musst. Du kannst es aber gerne mit Lagrange machen.

Deine Langrange-Funktion ist dann

L(x, y, k) = 9·x + 7·y - k·(75·LN(x) + 80·LN(y) - 840)

L'(x, y, k) = [9 - 75·k/x, 7 - 80·k/y, - 75·LN(x) - 80·LN(y) + 840] = [0, 0, 0]

Wenn du das Gleichungssystem löst bekommst du

x = 191.7771386 ∧ y = 263.0086472 ∧ k = 23.01325663

Aber das ist wenn du es rechnest tatsächlich aufwändiger.