Aloha :)
Die Kostenfunktion $$C(K,L)=0,55\cdot K+13\cdot L$$soll unter der Nebenbedingung$$F(K,L)=K^{0,5}+L=300$$minimiert werden. Die Lagrange-Funktion dazu lautet:$$f(K,L,\lambda)=0,55K+13L-\lambda(K^{0,5}+L-300)$$
Das Rechnen mit der Lagrange-Funktion ist oft viel zu aufwändig. Einfacher geht es mit der Kern-Idee von Lagrange. In einem Extremum müssen der Gradient der Funktion und der Gradient der Nebenbedingung kollinear sein (also parallel oder anti-parallel). Das heißt, wenn man beide Gradienten als Spalten in eine Determinante schreibt, muss diese null sein:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}\partial_KC & \partial_KF\\\partial_LC & \partial_LF\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}0,55 & 0,5K^{-0,5}\\13 & 1\end{array}\right|=0,55\cdot1-13\cdot0,5K^{-0,5}\quad\Longleftrightarrow$$$$6,5K^{-0,5}=0,55\quad\Longleftrightarrow\quad K^{0,5}=\frac{6,5}{0,55}=\frac{130}{11}\quad\Longleftrightarrow\quad K=\left(\frac{130}{11}\right)^2=\frac{16900}{121}$$Damit können wir alle Fragen beantworten:
(a) \(K=\frac{16900}{121}\approx\boxed{139,6694}\)
(b) \(L=300-K^{0,5}=300-\frac{130}{11}=\frac{3170}{11}\approx\boxed{288,1818}\)
(c) Der Lagrange-Multiplikatior \(\lambda\) ist der Faktor, mit dem man den Gradienten der Nebenbedingung multiplizieren muss, um den Gradienten der Funktion zu erhalten:$$\binom{0,55}{13}=\lambda\binom{0,5K^{-0,5}}{1}=\lambda\binom{11/260}{1}\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda=\boxed{13}$$Wenn dir das nicht klar ist, kannst du hier auch die Lagrange-Funktion partiell nach \(L\) ableiten:$$0\stackrel!=\partial_Lf=13-\lambda\quad\Longleftrightarrow\quad\lambda=13$$(d) \(C_{\text{min}}=\boxed{3823,18}\)
