Erzeugendensystem des S4, Erzeuger von Untergruppen

Question

Ich habe eine Aufgabe die die Thematik „Erzeugendensysteme“, „Erzeuger“ betrifft und komme da nicht weiter. Ich verstehe aber auch noch nicht wirklich, was das sein soll und wie das ganze funktioniert.

Ich soll zeigen, dass in S4 gilt:

H= <(1,2,4),(2,3,4)> = <(1,2,3),(1,2)(3,4)>

Anschließend soll ich überprüfen, ob H=S4.

Was bedeutet das jetzt genau, was da steht? Also ich weiß, dass <S> Die von S erzeugte Gruppe ist und S heißt ein Erzeugendensystem von <S>.

Bedeutet ich habe hier zwei Untergruppen, von denen ich zeigen soll, dass sie gleich sind. Diese Untergruppen werden einmal von (1,2,4) und (2,3,4) erzeugt, und einmal durch (1,2,3) und (1,2)(3,4).

Das bedeutet wiederum, dass beide Möglichkeiten die selbe Untergruppe H erzeugen sollen. Aber wie zeige ich das? Muss ich (1,2,4) und (2,3,4) jetzt einfach nur multiplizieren oder was muss ich noch machen?

Answer 1

Wenn sowohl (1,2,4), als auch (2,3,4) in der Gruppe ⟨(1,2,3),(1,2)(3,4)⟩ enthalten sind, dann ist

        ⟨(1,2,4), (2,3,4)⟩ ≤ ⟨(1,2,3),(1,2)(3,4)⟩.

Versuche also, (1,2,4) und (2,3,4) mittels (1,2,3) und (1,2)(3,4) und deren Inversen darzustellen.

Dabeikannst du systematisch vorgehen: zuerst versuchen, (1,2,4) mittels einem der Zykel (1,2,3) und (1,2)(3,4) und deren Inversen darstellen (es gibt vier Möglichkeiten). Falls das nicht funktioniert, dann versuchen (1,2,4) mittels zweier der Zykel (1,2,3) und (1,2)(3,4) und deren Inversen darstellen (es gibt vier² = sechzehn Möglichkeiten). Und so weiter.

Danach musst du noch zeigen, dass

        ⟨(1,2,4), (2,3,4)⟩ ≥ ⟨(1,2,3),(1,2)(3,4)⟩

ist. Das geht genauso.

Comments

Ich verstehe deine Erklärung glaube ich nicht ganz, jedenfalls bin ich zu keinem richtigen Ergebnis gekommen. Was meinst du mit „zuerst versuchen, (1,2,4) mittels EINEM DER ZYKEL (1,2,3) und (1,2)(3,4) und deren Inversen darstellen (es gibt 4 Möglichkeiten)“ und was mit „mittels zweier der Zykel (1,2,3) und (1,2)(3,4) und deren Inversen darstellen (es gibt sechszehn Möglichkeiten“ ?

Wie soll ich mit nur einem Zykel, bspw. (1,2,3) den Zykel (1,2,4) darstellen. Also ich muss doch immer 2 Zykel verknüpfen, oder nicht?

(2,3,4) kann ich darstellen durch (3,2,1)(1,2)(3,4) oder (3,2,1)(2,1)(4,3). Aber (1,2,4) bekomme ich einfach nicht dargestellt...

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Oder kann ich auch mit den Ergebnissen einer Verknüpfung arbeiten?

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Natürlich. Die sind ja auch in der Gruppe.