Bestimmen Sie ⟨σ,τ⟩ und zeigen Sie, dass es 2n Elemente enthält.

Question

Aufgabe:

Für n∈ℕ mit n≥3 seien σ,τ∈S_n  mit

σ := (1,2,...,n) und τ(i) = n + 1 − i.

(c) Bestimmen Sie ⟨σ,τ⟩ und zeigen Sie, dass es 2n Elemente enthält.

Ansatz:  leider keiner ...

Ich meine zu wissen, dass ⟨σ,τ⟩ das Erzeugnis von σ,τ∈S_n ist. Damit ist nach Def. (σ,τ)∈⟨σ,τ⟩, wobei ⟨σ,τ⟩ hierbei minimal bezüglich "⊆" ist (?) und (σ,τ)⊆S_n und ⟨σ,τ⟩ Untergruppen von S_n ist.

Leider bringen mir diese Definitionen (falls sie den stimmen(?)) nichts, um nun ⟨σ,τ⟩ zu bestimmen, oder gar die Anzahl der Elemente nachzuweisen, weil ich sie kaum zuordnen/verstehen kann.

Würde mich über Hilfe freuen.

Comments

σ ist die Permutation, die jedes x auf x+1 abbildet und den letzten, also das

n auf 1.

τ ist die Permutation, die die Reihenfolge von 1,...,n genau umdreht, also

1 auf n und 2auf n-1 und  … und  n auf 1 abbildet.

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Okay das macht Sinn und das habe ich in einer Aufgabe zuvor auch schon erkannt. Aber was sagt mir das jetzt über ⟨σ,τ⟩? Ich komme mit dem Thema Erzeugnisse noch nicht so ganz klar.

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"erzeugt" werden alle, die sich durch  ( ggf. ) mehrfache Hintereinanderausführung

von σ  und τ bilden lassen.

wenn du also etwa mit

1  2   3  4   5   6    anfängst  und machst einmal   σ  dann hast du
6  1   2   3  4   5     und nochmal gibt 
5   6   1  2   3  4    und jetzt vielleicht mal  τ 
2   1   6  5   4  3

Das Ergebnis hätte man auch bekommen, wenn man mit

der umgekehrten Reihenfolge anfängt und die 2x verschiebt-

also ist es vielleicht so, das durch beliebige  Hintereinanderausführung

von σ  und τ genau diejenigen Reihenfolgen erreichen kann, die

entweder aus der "normalen" oder aus der umgekehrten Reihenfolge

durch mehrere Verschiebungen um 1 nach rechts entstehen.

Das würde dann auch zu den 2n passen.

Kannst ja mal für einen Fall ausprobieren ( etwa n=6) und

schauen, ob sich das irgendwie beweisen lässt.

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Mein Problem ist glaube ich, dass ich nicht verstehe, was ⟨σ,τ⟩ ist, oder was es für Elemente enthalten soll...

1  2  3  4  5  6    anfängst  und machst einmal  σ  dann hast du
6  1  2  3  4  5    und nochmal gibt 
5  6  1  2  3  4    und jetzt vielleicht mal  τ 
2  1  6  5  4  3

 wenn ich auf 
1 2 3 4 5 6  σ anwende, kriege ich dann nicht
2 3 4 5 6 1

weil die 1 doch auf 1+1 = 2 geschickt wird?

das durch beliebige  Hintereinanderausführung
von σ  und τ genau diejenigen Reihenfolgen erreichen kann, die
entweder aus der "normalen" oder aus der umgekehrten Reihenfolge
durch mehrere Verschiebungen um 1 nach rechts entstehen.

Könntest du das eventuell an einem Beispiel ausführen, ich verstehe nicht wirklich, was du damit meinst.

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\( (\sigma,\tau) \in <\sigma,\tau> \) ist falsch. \( (\sigma,\tau) \) ist ein Paar.

Entweder schreibst Du

\( \sigma \in <\sigma,\tau> \) und \( \tau \in <\sigma,\tau> \)

oder auch kürzer

\( \sigma,\tau \in <\sigma,\tau> \)

oder auch

\( \{\sigma,\tau\} \subset <\sigma,\tau> \)

Answer 1

 wenn ich auf 
1 2 3 4 5 6  σ anwende, kriege ich dann nicht
2 3 4 5 6 1

richtig, ich hatte den Zykel in der falschen Richtung genommen.

Comments

Mein Problem ist glaube ich, dass ich nicht verstehe, was ⟨σ,τ⟩ ist, oder was es für Elemente enthalten soll...

Ich weiß, dass du mir jetzt schon viele Tipps gegeben hast, aber ein entscheidender wäre, wie ⟨σ,τ⟩ aussehen soll. Ist es eine Menge von Abbildungen, oder Elementen? Ich kann mir darunter irgendwie nichts vorstellen.

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wie ⟨σ,τ⟩ aussehen soll. Ist es eine Menge von Abbildungen, oder Elementen?

Das sind alle Abbildungen, die man durch mehrfache Anwendung von

σ und/oder τ erhalten kann, also sowas wie

σoτ  oder auch   σoσoτoτ   oder  σoσoτoσoτoτ     etc.

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Hab es jetzt verstanden, vielen lieben Dank :)