Teilkörper eines Körpers mit der linearen Hülle eines Vektorraumes verknüpfen

Question

Aufgabe:

Sei L ein Teilkörper eines Körpers K und V ein K-Vektorraum. Sei V = Span_K(x₁,..., x_n) für Elemente x_i \( \in \) V. K ist in natürlicher Weise ein L-Vektorraum. Es gelte K = Span_L(α₁, ..., α_m) für die Elemtene α_i \( \in \) K.

Zeigen Sie: V=Span_L(α_ix_i \( \in \) L : i = 1, ..., m; j = 1,.., n)

Problem/Ansatz:

leider komme ich bei dieser Aufgabe überhaupt nicht weiter. Nicht nur, dass mich das Index im Span-Operator verwirrt, mir fehlt auch der Ansatz, um überhaupt V mit L zu kombinieren. Mein Versuch war es irgendwie mit linearern Abhänigkeiten zu argumentieren, was leider auch nicht so funktioniert, wie ich es mir vorgestellt habe.