extremwertaufgaben--mathe

Question

hallo liebe leute,

ich habe morgen eine schularbeit und komme bei folgender aufgabe nicht mehr weiter:

Welches quadratische prisma mit der kantenlängensumme 72 cm hat das größte volumen?

Wäre nett wenn sich jemand finden würde der mir helfen könnte. Schönen abend noch!

LG

Answer 1

V=a^2*h

8a+4h=72

h=18-2a

V=a^2*(18-2a)=-2a^3+18a^2

V'=-6a^2+36a=0

a_1=0

6a=36

a_2=6

h=18-2*6=18-12=6

Also ein Würfel.

Answer 2

extremwertaufgaben

Das heißt Maximum oder Minimum einer Funktion bestimmen. Das solltest du können.

Die Herausforderung bei Extremwertaufgaben ist, dass du dir die Funktion, deren Maximum oder Minimum du bestimmen sollst, selbst basteln musst.

Dazu:

Welches quadratische prisma ... hat das größte volumen?

Das Volumen eines quadratischen Prismas soll maximiert werden.

Schreibe die Formel für das Volumen eines quadratischen Prismas hin. Das Volumen V eines quadratischen Prismas mit Höhe c und Seite der Grundfläche a ist

        V = a² · c.

Im Zusammenhang mit Extremwertaufgaben wird das oft Hauptbedingung genannt.

Man kann eigentlich c oder a beliebig groß wählen und bekommt beliebig große Volumen. Allerdings gibt es Einschränkungen, die verhindern, dass man c oder a beliebig groß wählen kann, nämlich:

mit der kantenlängensumme 72 cm

Die Kantenlängensumme K eines quadratischen Prismas mit Höhe c und Seite der Grundfläche a ist

        K = 8a + 4c.

Laut Aufgabenstellung muss K = 72 cm sein, also

        72 = 8a + 4c.

Im Zusammenhang mit Extremwertaufgaben wird das oft Nebenbedingung genannt. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen den in der Hauptbedingung vorkommenden Variablen her. Forme die Nebenbedingung nach einer der Variablen um

        c = 18 - 2a

und setze in die Hauptbedingung ein

        V = a² · (18 - 2a).

Das kann man jetzt als Funktionsgleichung

        V(a) = a² · (18 - 2a)

auffassen. Diese Funktion wird im Zusammenhang mit Extremwertaufgaben Zielfunktion genannt.

Bestimme mit Mitteln der Differentialrechnung das Maximum dieser Funktion.

Zusammengefasst:

1. Hauptbedingung aufstellen.
2. Nebenbedingung aufstellen.
3. Nebenbedingung umformen.
4. In Hauptbedingung einsetzen um Zielfunktion zu bekommen.
5. Maximum/Minimum der Zielfunktion bestimmen.