Betrachte zunächst die ersten drei Matrizen: $$\begin{aligned}A_1&=\begin{pmatrix} 2 \end{pmatrix}\quad &&a_1 = \det(A_1) = 2 \\ A_2 &= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad &&a_2 = \det(A_2) = 4-1=3 \\ A_3 &= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \quad && a_3=\det(A_3)= 8-2-2=4 \end{aligned}$$ (a) Es soll gelten $$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$$ Dazu betrachte die allgemeine Matrix \(A_n\) $$A_n= \left(\begin{array}{c|ccccc} \colorbox{#88ff88}{2} & \colorbox{#ffaaaa}{1} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \hline \colorbox{#ffff00}{1} & 2 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ \hline 0 & \colorbox{#aaaaff}{1} & 2 & 1 & \dots & \vdots \\ 0 & 0 & 1 & 2 & \ddots & \vdots\\ 0&\dots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \dots & \dots & 0 & 1 & 2\end{array}\right)$$ Entwickle die Determinante nach der ersten Spalte. Die Matrix, die der grünen \(2\) gegenüber steht ist die Matrix \(A_{n-1}\). Die Untermatrix, die zu der gelben \(1\) gehört, kann man wieder nach der ersten Spalte entwickeln. Die Untermatrix, die zur blauen \(1\) gehört, hat die Determinante 0, da die erste Zeile nur aus 0'en besteht. Es verbleibt die Submatrix, die zur roten \(1\) gehört, und dies ist die Matrix \(A_{n-2}\). Also ist $$\det(A_n) = 2\det(A_{n-1}) - \det(a_{n-2}) \\ \implies a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$$
(b) es soll bewiesen werden, dass \(a_n = a_{n-1} + 1 \gt 0\) für \(n \ge 2\) $$a_2 = a_1 + 1 = 2 +1 = 3 \gt 0 \quad (\text{s.o.})$$ damit ist der Induktionsanfang erledigt. Der Induktionsschritt: Lt. Aufgabenteil (a) gilt: $$\begin{aligned} a_{n+1} &= 2 a_n - a_{n-1} \\ \end{aligned}$$ Ich nutze nun aus, dass nach Induktionsvoraussetzung \(a_{n-1} = a_n - 1\) ist. Einsetzen: $$\begin{aligned}a_{n+1} &= 2a_n - (a_n - 1) \\ &= a_n + 1 \quad \text{q.e.d.}\end{aligned}$$ Gruß Werner
