vollständige Induktion(Induktionschluss)

Question

Aufgabe:

Aⁿ ist invertierbar  und (Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ für n = 1,2,.....

Problem/Ansatz:

habe hier ein Beispiel, bei dem der Induktionsschluss unklar ist. Normalerweise, weiß ich was zu tun ist, aber wüsste hier nicht wie man das angehen könnte

Induktionsanfang:

n = 1

(A¹)^-1  = (A)^-1  = A^-1 = (A^-1)¹

n = 2
(A²)^-1  = (A*A)^-1 = A^-1 * A^-1 = (A^-1)²

n = 2
(A³)^-1  = (A*A*A)^-1 = A^-1 * A^-1 *A^-1= (A^-1)³

Induktionsannahme:

(Aⁿ)^-1 = (A^-1)ⁿ

Induktionsschluss:

z.z für alle n+1

Answer 1

(A^(n+1))^(-1)

= ( A*A^n)^(-1)

wegen (AB)^(-1) = B^(-1)*A^(-1) also

= (A^n)^(-1) * A^(-1)

wegen Ind.annahme dann

= (A^(-1))^n *  * A^(-1)

= (A^(-1))^(n+1)

Comments

Danke schonmal, aber diesen Schritt kann ich leider nicht folgen:

wegen (AB)^(-1) = B^(-1)*A^(-1) also

= (An)^(-1) * A^(-1)

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Das Inverse von einem Produkt ist das Produkt der Inversen in

umgekehrter Reihenfolge.

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Ah ja natürlich, habe es auf  den Ersten Blick missverstanden, doch einfacher als ich dachte. Danke vielmals :)