Supremum und Infimum von der Folge 1/n +(-1)^n bestimmen

Question

Gegeben ist mir folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie das Supremum bzw. Infimum der folgenden Mengen A enthalten in R. Existiert
das Maximum bzw. Minimum von A? Begründen Sie Ihre Aussagen!

$$A:= \{ \frac{1}{n}+(-1)^n : n\in \mathbb{N}^*\}$$

Problem/Ansatz:

Durch einfachen einsetzen von n in die Folge wird schnell klar , dass folgendes gilt:

$$\text{ Sei n gerade : } 2n \Longrightarrow A \gt1 \\\text{Sei n ungerade : } 2n+1 \Longrightarrow 0 \geq A \gt -1$$

Daraus folgt, dass 1 die kleinste obere schranke und damit das Supremum ist.

Und dass, -1 die größte untere Schranke und damit das Infimum ist.

Außerdem hat die Folge kein Maximum und Minimum, da die Folge nie 1 oder -1 erreichen wird und sie somit nicht in der Folge liegen.

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Mein Problem ist, wie genau beweise ich alle diese Aussagen und schreibe sie mathematisch korrekt auf?

Kann mir dabei jemand helfen?

Answer 1

korrigierte Antwort nach berechtigter Beschwerde von Gast62: 

Mein Problem ist, wie genau beweise ich alle diese Aussagen und schreibe sie mathematisch korrekt auf?

So sollte es gehen:

a_n  =  1/n + (-1)ⁿ   =  ( 1 + 1/n   für gerade n  

                                  ( -1 + 1/n  für ungerade n 

 \(\lim_{n \to ∞} (-1+1/n )\) = -1   ,  a₂ = 1,5 , 

 die Teilfolgen sind streng monoton monoton  fallend  

      die Werte der Folge  liegen also in ] -1 ; 1,5 ]   

→  Wegen \(\lim_{n \to ∞} (-1+1/n )\) = -1 ist das Infimum = -1                                            Minimum existiert nicht, weil -1 nicht in A liegt

      1,5 ∈ A  ist sowohl Supremum als auch Maximum

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Ich habe jedoch eine Frage.

Sie haben  das Infimum bestimmt, indem Sie den Grenzwert der ungeraden Teilfolgen bestimmt haben. Diesen Schritt habe ich verstanden.

Jedoch wurde das Supremum durch einsetzen von dem Wert ''2'' in die gerade Teilfolge bestimmt. Gibt es einen anderen Weg das Supremum bei dieser Aufgabe zu bestimmen ohne Werte einzusetzen?

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Wenn eine Teilfolge monoton fallend ist, dann ist ihr erster Wert auch ihr größter Wert.

Also musst du zumindest den ersten Wert der Teilfolge mit geraden Zahlen n bestimmen.

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Ich verstehe, aber dann muss ich aber erst Beweisen, dass die Teilfolge der geraden Zahlen auch monoton fallend ist.

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Ja. Allerdings ist die Folge (1/n) und damit auch (1+ (1/n)) für diese Eigenschaft hinreichend berüchtigt.

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Dank der guten Tipps von euch beiden bin ich auf folgende Argumentation gekommen, die einigermaßen Schlüssig erreicht. Leider muss ich bevor ich irgendwas verwende erstmal zeigen, dass ich dies in der Tat machen kann, daher zuerst der Beweis, dass die Teilfolgen monoton fallend sind:

$$a_n:= \frac{1}{n}+ (-1)^n  : n \in \mathbb{N}^* \\\Longrightarrow a_g:= 1 + \frac{1}{n} \land a_u:= -1 + \frac{1}{n} \\[10pt] \text{ Teilfolge der geraden Zahlen: }  a_g:= 1 + \frac{1}{n} \\\text{ Behauptung: Die gerade Teilfolge ist monoton fallend } \\a_g\geq a_{g+1} \\\frac{a_g}{a_{g+1}} \geq!  1 \\\frac{\frac{1}{2}+(-1)^2}{\frac{1}{4}+(-1)^4}\geq 1 \\ 1,2 \geq 1  \\\Box \\\Longrightarrow a_2= supA_g \Longrightarrow a_2= \frac{1}{2}+(-1)^2=1,5 \Longrightarrow supA_g=1,5 \\\text{ Nachweis des Infimums der geraden Teilfolgen: } \lim\limits_{n\to\infty} ( 1+ \frac{1}{n})= 1+0=1 \\\Longrightarrow a_g: (1 ; 1,5 ] \\[10pt]\text{ Teilfolge der ungeraden Zahlen: } a_u := -1+ \frac {1} {n} \\\text{ Behauptung: Die ungerade Teilfolge ist monoton fallend } \\a_u\geq a_{u+1} \\\frac{a_u}{a_{u+1}} \leq!  1 \\\frac{\frac{1}{1}+(-1)^1}{\frac{1}{3}+(-1)^3}\leq 1 \\ 0 \leq 1  \\\Box \\\Longrightarrow a_1= supA_u \Longrightarrow a_1= \frac{1}{1}+(-1)^1=0 \Longrightarrow supA_u=0 \\\text{ Nachweis des Infimums der ungeraden Teilfolgen: } \lim\limits_{n\to\infty} ( -1+ \frac{1}{n})= -1+0=-1 \\\Longrightarrow a_u: (-1 ; 0 ] \\[15pt] \{a_g:= (1 ; 1,5 ]\} \land \{a_u:= (-1 ; 0 ]\} \Longrightarrow \{a_n:= (-1; 1,5]\} \\\Longrightarrow \{supA_n= 1,5\} \land \{maxA_n= 1,5\} \land \{infA_n= -1 \}\land \{\text{ Es existiert kein Minimum da -1 nicht in der Folge enthalten ist.}\} $$

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deine "Nachweise" sind keine.

Mit der Bildung des Quotienten a2/a4 hast du gerade mal gezeigt, dass a2 > a4 gilt.

Das hat keinerlei Beweiskraft für a4, a6, a8 usw.

Gleiches gilt für die Bedeutungslosigkeit des einen Beispiels a1/a3.

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Ok wie zeige ich dann dass die Teilfolgen monoton fallend sind?

Mit dem quotienten a_(2)/ a_n(4) wollte ich die Bedienung bedienung für Monotonie überprüfen. Ich gebe zu , dass diese Schlussfolgerung in der Tat zur voreilig war. Jedoch kann ich dies dennoch als Induktionsanfang nutzen.

Wenn ich also zeige dass für alle geraden Zahlen der Folge:

Meine Induktionsvoraussetzung stimmt: a_(g+1)/a_(g+2) >1

Kann ich dadurch das behaupten die gerade Teilfolge sei monoton fallen?

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Ok wie zeige ich dann dass die Teilfolgen monoton fallend sind?

Da 1/n mit wachsendem n immer kleiner wird, werden

sowohl -1 + 1/n) als auch 1 + 1/n mit wachsendem n immer kleiner

→  beide Teilfolgen sin streng monoton fallend

Answer 2

Glaube nicht den Leuten die behaupten, der Term liege zwischen -1 und 1.

Für n=2 erhältst du schon mal den Wert 1,5.

Comments

Ich glaube dies auch nicht. Ich habe nie behauptet der Term liege zwischen den beiden.

Es ist eher so, dass man den Term aufteilen kann in 2 teile:

der gerade Teil strebt gegen 1 erreicht diesen aber nie.

der ungerade teil strebt befindet sich zwischen 0 und -1 und strebt -1 an, erreicht diesen aber ebenfalls nicht.

Mir ist auch klar, dass der Term divergiert, jedoch ist er beschränkt.

Und es geht in der Aufgabe den Supremum bzw. Infimum zu bestimmen, welche existieren weil die Folge beschränkt ist.

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"der gerade Teil strebt gegen 1 erreicht diesen aber nie."

Richtig.

Konkret: Er kommt "von oben" monoton fallend gegen 1.

Der erste "gerade" Wert ist damit zugleich der größte und damit Maximum und damit Supremum. (Wie du sicher bemerkt hast, rede ich von 1,5.)

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Okay, dann habe ich folgende Frage:

Soll ich eine Fallunterscheidung durchführen, für den geraden sowie ungeraden Teil und dann daraus folgern, weil sich die Suprema und Infimum unterscheiden ==> existiert kein Suprema/Infimum sowie Maximum/Minimum für die Folge?

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Wie die auf meine Aussage, dass 1,5 sowohl Maximum als auch Infimum ist, mit "es existiert kein..." reagieren kannst, ist mir schleierhaft.