Es sei \( \mathcal{B}_{1} = \left\{e_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\} \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \mathcal{B}_{2}=\left\{v_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) die Basis mit
$$ v_{1}=\left[\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right], i_{2}=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right], \vec{u}_{3}=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right] $$
Weiter sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f\left(x^{2}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3}\end{array}\right] x^{2} \)
a) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, B_{1}} \)
b) Berechnen Sie die Basiswechschatrizen \( T_{B_{2}, B_{1}} \) und \( T_{B_{1}, B_{2}} \)
c) Berechnen Sie \( f_{B_{2}, B_{2}} \) auf folgenden zwei Wegen:
(a) mit der Definition,
(b) mithilfe von \( f_{B_{1}, B_{1}} \) und den Basiswechsolmatrizen.
Problem/Lösungsansatz
Formel die ich gern bei a)/b) anwenden würde und nicht kann:
Basis von V -> b(beta)= {b1,...bn}; Basis von W -> C= {c1,....cn}
- f(bj) als LNK von c1,...,cm -> f(bj) = a1jc1+a2jc2+...+amjcm
- Koordinatenvektor in j-te Spalte-> fb,c [Kc(f(b1))...Kc(f(bn))] = Matrix 1.Zeile [a11...a1n] 2.Zeile [am1...amn]
c) ist damit die von mir genannten Definition gemeint?
b) mit Hilfe der in a) oder b) berechneten Matrizen?
