Polynome Untervektorraum nachweisen

Question

Aufgabe:

Es sei
R[x]₄ = { ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e : a, b, c, d, e ∈  ℝ}
die Menge der Polynome vom Grad höchstens 4.
Es sei

U = { p ∈  R[x]₄ : p(3) = 0 }
die Menge der Polynome in R[x]₄ mit einer Nullstelle bei x₀ = 3

a) Zeigen Sie, dass die Menge U ein Untervektorraum vom R[x]₄ ist.
b) Geben Sie eine Basis von U an.
c) Welche Dimension hat U?

Problem:

Verstehe gerade nicht wie ich da anfangen soll... Kann jemand erklären was mit der Aussage

"U = { p ∈  R[x]4 : p(3) = 0 }
die Menge der Polynome in R[x]₄ mit einer Nullstelle bei x₀ = 3" gemeint ist?

:)

Answer 1

Kann jemand erklären, was mit der Aussage
... die Menge der Polynome in R[x]4 mit einer Nullstelle bei x0 = 3" ... gemeint ist?

Das sind die Polynome  der Form  a · (x - 3) · (x³ + u·x² + v·x + w )

Weiteres in  meinem 2. Kommentar

Gruß Wolfgang

Comments

Zur a) : Hier muss man ja die verschiedenen Kriterien durchrechnen.

1. Wäre ja das U nicht die leere Menge ist. Würde hier ein Beispiel einer Funktion reichen?

Wie kamst du auf die Form der Polynome, R[x]4 ist ja die Menge der Polynome des vierten Grades?

Würde es dann a *(x-3) * (x^4 + u*x^3 + v*x^2 + w*x+z) heißen?

Liebe Grüße

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für U ≠ ∅  kann man das Nullpolynom  x ↦ 0  nehmen   (alle Parameter = 0)

Wenn man meinen Vorschlag ausmultipliziert, erhält man ax⁴ + ....

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Unterraumkriterium Abgeschossenheit d. Addition

Sei u, v ∈ U
u(3) = 0, v(3) = 0

(u + v)(3) = u(3) + v(3) = 0 + 0 = 0

u + v ist im UVR enthalten

Unterraumkritierum Abgeschlossenheit d. Multiplikation

u(3 ) = 0,

(u(3λ)) = u(3) * λ )= 0

Bei b) und c) bin selbst noch am überlegen. Weiß nicht, wie der Untervektorraum mit Polynomgen genau aussieht, außer dass er eine Nullstelle bei xo = 3 hat. Also (ax^4 + bx³ + cx² + dx + e), wobei (81a + 27b + 9c + 3 + e) = 0?

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a)

Man kann die Polynome mit p(0)=3 auch allgemein in der Form

p(x)  =  (x-3) • ( ax³ + bx² + cx + d )   schreiben

1) Das Nullpolynom ist in dieser Form darstellbar

            a=b=c=d=0

2) 3) Abgeschlossenheit bzgl. + und •

(x-3) · (a₁x³ + b₁x² + c₁x + d₁) + (x-3) · (a₂x³ + b₂x² + c₂x + d₂)

     = (x-3) ·[ (a₁ + a₂)·x³ + (b₁ + b₂)·x² + (c₁ + c₂)·x + (d₁ + d₂) ]

hat wieder diese Form  und

r • (x-3) · (a₁x³ + b₁x² + c₁x + d₁)

     =  (x-3) · [ (r·a₁) · x³ + (r·b₁) · x² + (r·a₁) · x + (r·d₁) ]

hat auch diese Form

b)

{ (x-3)·x³ , (x-3)·x² , (x-3)·x , (x-3)·1 }  ist eine Basis von U

c)

Die Dimension von U ist 4

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Vielen lieben Dank :))

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Gern geschehen :-)

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Wie würde das Polynom 4ten Grades in Linearfaktordarstellung aussehen, wenn es 2 Nullstellen hat nämlich f(0)=0 und f(2)=0?

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f(x) = x * (x-2) * (ax² +bx + c)

wenn es genau 2 Nullstellen sind, gilt ax² +bx + c ≠ 0

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alles klar so hab ich das! Danke

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Diesselbe Aufgabe auf den Tag genau 4 Jahre später.

Ob da ein Übungsleiter seine alten Aufgaben wiederverwendet hat. *lach*