Vektorraum der Polynome untervektorraum

Question

Text erkannt:

Es sei \( \mathrm{R}[\mathrm{X}] \) der Polynomring über dem Körper \( \mathbf{R} \) (mit einer Unbestimmten) . \( \mathbf{R}[X] \) ist ein R-Vektorraum und \( \mathrm{R}_{\mathrm{n}}[\mathrm{X}]:=\{\mathrm{f} \in \mathrm{R}[\mathrm{X}] \mid \operatorname{deg}(\mathrm{f}) \leq \mathrm{n}\} \) ist ein Untervektorraum davon. Man gebe eine Basis von
a) \( \mathrm{R}[\mathrm{X}] \)
b) \( \mathrm{R}_{n}[\mathrm{X}] \)
an und beweise die Basiseigenschaft.
Ergänzende Bemerkung: Wenn auch jeder K-Vektorraum eine Basis besitzt, so kann sich die explizite Angabe einer Basis schwierig gestalten ; ein typisches Beispiel dafür ist der Q-Vektorraum \( \mathbf{R} \) ( \( \mathbf{Q} \) ist der Körper der rationalen Zahlen ).

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:  wie kann ich anfangen

Answer 1

Wenn du dir mal anschaust, wie Polynome in \(\mathbf{R}_n[x]\) addiert und mit Skalaren multipliziert werden,

        \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^n a_ix^i + \sum_{i=0}^n b_ix^i &= \sum_{i=0}^n (a_i+b_i)x^i\\c\cdot \sum_{i=0}^n a_ix^i &= \sum_{i=0}^n (c\cdot a_i)x^i\end{aligned}\)

dann wirst du feststellen, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zu den entsprechenden Rechenarten in \(\mathbf{R}^{n+1}\) gibt:

\(\begin{aligned}\begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_0\\\vdots\\b_n\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_0+b_0\\\vdots\\a_n+b_n\end{pmatrix}\\c\cdot \begin{pmatrix}a_0\\\vdots\\a_n\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}c\cdot a_0\\\vdots\\c\cdot a_n\end{pmatrix}\end{aligned}\)

Letztendlich bekommt man den Vektorraum \(\mathbf{R}_n[x]\) einfach indem man den Vektoren aus \(\mathbf{R}^{n+1}\) andere Namen gibt. Fachbegriff dafür ist Isomorphie.

Für \(\mathbf{R}^{n+1}\) kennst du sicherlich eine Basis.

Comments

Du meinst   {R}n[x] und R
n+1 haben gleich Basis

* hat vektorraum und unter vektorraum das gleiche Basis??

Text erkannt:

\( e_{1}(1,0,0, \ldots) \quad e_{2}(0,1,01 \ldots) \quad \) en \( (0,0, \ldots n) \)

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Die gleiche Basis nicht. Weil es sind ja unterschiedliche Vektorräume. Im \(\mathbf{R}^{3+1}\) gibt's zum Beispiel den Vektor

        \(\left(\begin{smallmatrix}-3\\\pi\\1/2\\\sqrt{2}\end{smallmatrix}\right)\),

im \(\mathbf{R}_3[x]\) gibt's dagegen den Vektor

        \(-3+\pi x+\frac{1}{2}x^2+\sqrt{2}x^3\).

Übersetze auf diese Weise die Vektoren einer Basis von \(\mathbf{R}^{n+1}\) in Vektoren aus \(\mathbf{R}_n[x]\). Dann hast du eine Basis von \(\mathbf{R}_n[x]\).