Integrale und Flächeninhalt

Question

Aufgabe: bestimme das integral und den Flächeninhalt der einzelnen Flächenstücke zwischen den Graphen der Funktion f und der 1. Achse über bzw. unter dem angegebenen Intervall. Bestätige durch addieren bzw. subtrahieren der einzelnen Flächeninhalte den Wert des Integrals

f(x)= (2-x)*(x+1); [-2|3]

Problem/Ansatz: wie gehe ich jetzt vor?

Answer 1

ausmultiplizieren:

f(x)= -x^2+x+2 -> F(x)= -x^3/3 + x^2/2 +2x

Nullstellen bei x=-1 und x=2

Integriere von -2 bis -1, von -1 bis 2, und von 2 bis 3

Answer 2

Skizziere die Gegebenheiten zunächst in einem Koordinatensystem.

Dann liegt die Fläche von -2 bis -1 unterhalb der x-Achse. Das Integral ist dort negativ.

Die Fläche von -1 bis 2 liegt oberhalb der x-Achse. Das Integral ist dort positiv.

Die Fläche von 2 bis 3 liegt wieder unterhalb der x-Achse. Das Integral ist dort negativ.

Wenn du über das gesamte Intervall integierst (also über Nullstellen hinweg), dann werden die negativen und die positiven Anteile des Integrals miteinander verrechnet. Wenn du aber die Fläche zwischen Graph und x-Achse haben willst, musst du jede Nullstelle als Integrationsgrenze wählen und die 3 Beträge addieren.

Answer 3

f(x) = (2 - x)·(x + 1) = - x^2 + x + 2

Nullstellen von f(x) bei -1 und 2

F(x) = -1/3·x^3 + 1/2·x^2 + 2·x

∫ (-2 bis -1) f(x) dx = F(-1) - F(-2) = -11/6

∫ (-1 bis 2) f(x) dx = F(2) - F(-1) = 9/2

∫ (2 bis 3) f(x) dx = F(3) - F(2) = -11/6

Das gesamte Integral

∫ (-2 bis 3) f(x) dx = F(3) - F(-2) = -11/6 + 9/2 - 11/6 = 5/6 → stimmt