Berechnen Sie die folgenden Integrale:

Question

Aufgabe:

ist meine a richtig?

Text erkannt:

Bonusaufgabe (5 Punkte). Berechnen Sie die folgenden Integrale:
a) \( \int \limits_{0}^{1} x^{2} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x \),
b) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \ln (\cos (x)) \cdot \sin (x) \mathrm{d} x \),
c) \( \int \frac{1}{\ln (\ln (x)) \cdot x \ln (x)} \mathrm{d} x \),
d) \( \int x^{2} \cos (3 x) d x \),
e) \( \int \frac{\sqrt{1+\ln (x)}}{x} d x \)

Text erkannt:

\( \begin{array}{rlr} \text { a.) } \begin{array}{ll} \int \limits_{0}^{1} \underbrace{x^{2}}_{v} \underbrace{e^{-x}}_{v} d x & v=x^{2} \\ =\left[u^{\prime}=2 x\right. \\ =\left[x^{2} \cdot\left(-e^{-x}\right)\right]_{0}^{1}-\int \limits_{0}^{1} \underbrace{2 x}_{v} \underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{v} d x & v=2 x \\ v^{\prime}=e^{-x} \\ = & v=2 \\ =\left[x^{2} \cdot\left(-e^{-x}\right)\right]_{0}^{1}-\left(2 x \cdot e^{-x}-\int \limits_{0}^{1} 2 \cdot e^{-x} d x\right) & v^{\prime}=-e^{-x} \\ =\left[-x^{2} \cdot e^{-x}-2 x \cdot e^{-x}-2 e^{-x}\right]_{0}^{1} & \\ =\left[e^{-x} \cdot\left(-x^{2}-2 x-2\right)\right]_{0}^{1} \end{array} \end{array} \)
doere Grenze:
untere Grenze:
\( \begin{aligned} & e^{-1} \cdot\left(-1^{2}-2 \cdot 1-2\right) \\ = & e^{0} \cdot\left(-1^{0}-2 \cdot(-5)\right. \\ = & -5 \cdot(-1 \cdot(-1-2) \\ = & =-3 \end{aligned} \)
doere Grense - untere Grense
\( \begin{array}{l} =-5 e^{-1}-(-3) \\ =-5 e^{-1}+3 \end{array} \)

Answer 1

ist meine a richtig?

Nein.

https://www.integralrechner.de hilft weiter.

Comments

Aber was ist denn falsch?

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Du kannst Deinen Rechenweg vergleichen mit dem Output der genannten Webseite. Die zeigt nämlich nicht nur das Ergebnis sondern auch einen Rechenweg an. Aber wem sag ich das, auf die Webseite hat man Dich ja schon am 24. April 2024 aufmerksam gemacht.

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Wusste nicht, dass der Rechenweg auch gezeigt wird, tut mir leid, Dankeschön aber

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Es ist schon erstaunlich, dass Du als Informatik-Studi diese Dir empfohlenen Informatik-Tools nicht mal ausprobierst. Warum interessieren Dich diese Tools nicht?

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Vor einem Jahr war ich keine Studentin, und als mir vor paar Wochen jemand so eine Seite empfohlen hat, funktionierte sie nicht …

Answer 2

Beim Einsetzen der unteren Grenze ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen.

Da steht \(1^0\) es müsste dort aber \(0^1\) stehen.

Beachte außerdem, dass in der runden Klammer noch die eckigen Klammern mit den Grenzen fehlen.

Die Seite, die döschwo meint existiert nicht, denn sie lautet https://www.integralrechner.de/

Leerzeichen können schon böse Folgen haben.

Comments

Wann benutzt man partielle Integration und wann Substitution, ich weiß, dass man die partielle anwendet, wenn man normalerweise die Produktregel angewendet hätte und bei Substitution, die Kettenregel

Was ist nicht verstehe, wieso wurde bei 3c die Substitutionsregel angewendet, obwohl es ein Produkt zwischen cos und sinus gibt

Text erkannt:

Aufgabe 3. Berechnen Sie folgende Integrale:
a) \( \int x^{3} \ln (2 x) \mathrm{d} x \),
b) \( \int \mathrm{e}^{2 x} \sin \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x \),
c) \( \int \limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos (x) \sin (x) \mathrm{e}^{\sin (x)} \mathrm{d} x \),
d) \( \int \limits_{0}^{1} x^{2} \sqrt{1+x} \mathrm{~d} x \)

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Wenn die Ableitung der substituierten Funktion als Faktor vorkommt, bietet sich eine Substitution an, da sich die Ableitung dann beim umstellen von \(\mathrm{d}x\) nach \(\mathrm{d}u\) herauskürzt. Da der Kosinus die Ableitung des Sinus ist, bietet es sich hier also an, den Sinus zu substituieren.

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Was genau meinst du mit Faktor ?

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Ein Faktor ist der Bestandteil einer Multiplikation ...

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Faktoren sind Teile einer Multiplikation.

In dem Produkt A·B sind A und B die Faktoren.

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Ah okay, und was genau bringt uns die Substitution? Also welche Vorteile bringt sie

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Führe sie doch mal durch... Dadurch vereinfacht sich der Integrand und die Integration wird einfacher.

Answer 3

Substitutionen werden meist gemacht um einen komplizierteren Sachverhalt in einen etwas einfacheren zu überführen. Nehmen wir mal dein Integral

∫ e^{SIN(x)}·SIN(x)·COS(x) dx

und ersetzen jetzt

SIN(x) = z
COS(x) dx = 1 dz → dx = 1/COS(x) dz

= ∫ e^z·z·COS(x)·1/COS(x) dz

Jetzt kürzt sich zum Glück auch noch das COS(x) weg und wir erhalten

= ∫ e^z·z dz

Du siehst aus dem ganz schwierigen Integral ist jetzt ein ganz einfaches geworden, welches wir mit der partiellen Integration lösen können

= ∫ e^z·z dz = e^z·z - ∫ e^z dz = e^z·z - e^z + C = e^z·(z - 1) + C

Nun können wir wieder z durch unser SIN(x) ersetzen

= e^{SIN(x)}·(SIN(x) - 1) + C

Damit haben wir jetzt also eine Stammfunktion gefunden und das war viel einfacher als wenn wir das ohne Substitution hätten machen müssen oder?

Comments

Ja stimmt, mit der partiellen müsste man öfter die stammfunktion bilden