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Beweis für Supremum
Um zu beweisen, dass \(\alpha = \sup A\) genau dann, wenn die beiden Bedingungen erfüllt sind, teilen wir den Beweis in zwei Richtungen auf: (i) Wir zeigen, dass wenn \(\alpha = \sup A\), dann sind beide Bedingungen erfüllt. (ii) Wir zeigen, dass wenn beide Bedingungen erfüllt sind, dann ist \(\alpha = \sup A\).
(i) Richtung (\(\alpha = \sup A\) \(\Rightarrow\) Beide Bedingungen erfüllt)
1. Da \(\alpha = \sup A\), ist \(\alpha\) eine obere Schranke von A. Das bedeutet, dass für alle \(a \in A\), \(a \leq \alpha\). Dies erfüllt die erste Bedingung.
2. \(\alpha\) ist das kleinste Element, das größer oder gleich jeder Zahl in A ist. Wenn für alle \(\epsilon > 0\) kein \(a \in A\) existiert mit \(a > \alpha - \epsilon\), dann gäbe es eine Zahl \(b = \alpha - \epsilon\) für ein genügend kleines \(\epsilon > 0\), die eine kleinere obere Schranke von A wäre als \(\alpha\). Das widerspricht aber der Definition von \(\sup A\). Also muss für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(a \in A\) existieren, so dass \(a > \alpha - \epsilon\). Dies erfüllt die zweite Bedingung.
(ii) Richtung (Beide Bedingungen erfüllt \(\Rightarrow\) \(\alpha = \sup A\))
1. Da \(\alpha\) eine obere Schranke von A ist, kommen wir zum Schluss, dass kein Element in A größer als \(\alpha\) ist.
2. Die Bedingung, dass für alle \(\epsilon > 0\) ein \(a \in A\) existiert, sodass \(a > \alpha - \epsilon\), zeigt uns, dass \(\alpha\) nicht nur eine obere Schranke von A, sondern auch die kleinste obere Schranke ist. Wäre \(\alpha\) nicht die kleinste obere Schranke, könnte man ein \(\epsilon\) so wählen, dass \(\alpha - \epsilon\) eine kleinere obere Schranke wäre, was dann ein Element \(a \in A\) ausschließen würde, welches größer ist als \(\alpha - \epsilon\). Dies würde der Bedingung widersprechen.
Daher, wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist \(\alpha\) das kleinste Element, das größer oder gleich jeder Zahl in A ist, und somit \(\alpha = \sup A\).
Beweis für Infimum
Der Beweis für das Infimum verläuft analog zum Beweis für das Supremum, indem man die Richtung der Ungleichungen umkehrt.
(i) Richtung (\(\beta = \inf A\) \(\Rightarrow\) Beide Bedingungen erfüllt)
1. Da \(\beta = \inf A\), ist \(\beta\) eine untere Schranke von A. Das bedeutet, dass für alle \(a \in A\), \(a \geq \beta\). Dies erfüllt die erste Bedingung.
2. \(\beta\) ist das größte Element, das kleiner oder gleich jeder Zahl in A ist. Wenn für alle \(\epsilon > 0\) kein \(a \in A\) existiert mit \(a < \beta + \epsilon\), dann gäbe es eine Zahl \(c = \beta + \epsilon\) für ein genügend kleines \(\epsilon > 0\), die eine größere untere Schranke von A wäre als \(\beta\). Das widerspricht aber der Definition von \(\inf A\). Also muss für jedes \(\epsilon > 0\) ein \(a \in A\) existieren, so dass \(a < \beta + \epsilon\). Dies erfüllt die zweite Bedingung.
(ii) Richtung (Beide Bedingungen erfüllt \(\Rightarrow\) \(\beta = \inf A\))
1. Da \(\beta\) eine untere Schranke von A ist, gibt es kein Element in A, das kleiner als \(\beta\) ist.
2. Die Bedingung, dass für alle \(\epsilon > 0\) ein \(a \in A\) existiert, sodass \(a < \beta + \epsilon\), zeigt uns, dass \(\beta\) nicht nur eine untere Schranke von A, sondern auch die größte untere Schranke ist. Wäre \(\beta\) nicht die größte untere Schranke, könnte man ein \(\epsilon\) so wählen, dass \(\beta + \epsilon\) eine größere untere Schranke wäre, was dann ein Element \(a \in A\) ausschließen würde, welches kleiner ist als \(\beta + \epsilon\). Dies würde der Bedingung widersprechen.
Daher, wenn beide Bedingungen erfüllt sind, ist \(\beta\) das größte Element, das kleiner oder gleich jeder Zahl in A ist, und somit \(\beta = \inf A\).
