Umkehrfunktion bestimmen zu f:(x,y)↦(e^x cos(y), e^x sin(y))

Question

Ich habe die Funktion

f:(x,y)↦(e^x cos(y), e^x sin(y))

und weiß bereits dass die Umkehrfunktion exisitiert. Diese soll ich nun bestimmen.

Zu gegebenem (x,y) ∈ f(x,y) sind also (u,v) im Urbild gesucht.

Es muss also gelten

u=e^x cos(y) und   v=e^x sin(y).

Das muss jetzt nach x bzw. y aufgelöst werden.

Ich vermute mal dass man das mit komplexen Zahlen machen muss, also x+iy, weiß aber leider nicht wie und ich habe schon ne ganze Weile lang versucht das herauszubekommen.

Answer 1

das sind Polarkoordinaten mit e^x=r

Es gilt

u^2+v^2=e^(2x)

ln(u^2+v^2)/2=x

Und v/u=tan(y) → y=arctan(v/u)

Bei letzterem musst du gegebenfalls noch Fallunterscheidungen machen, in welchen Quadranten der Punkt (v,u) liegt,

insbesondere auch cos(y)=0 beachten.

Comments

Danke das habe ich schon mal verstanden. Nur weiß ich nicht wie ich das mit der Fallunterscheidung machen soll? Kannst du mir da vielleicht nochmal helfen?

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Und ich habe dazu nochmal eine Frage.

In Aufgabe b soll man die Abbildung angeben, wenn man f im komplexen schreibt.

Das ist doch die Umkehrfunktion oder?

Wir haben dazu noch aufgeschrieben

f: ℝ²→ℝ²

  ℝ x(0,2π)⊆ℝ² ⇒f:ℝ x(0,2π)→ℝ² ohne {(u,0):u≥0}

f^-1(u,v)=(1/2 ln(u²+v²),  arccos(4/(u²+v²)^(1/2))

              1/2 ln(u²+v²), 2π-arccos(4/(u2+v2)^(1/2)))

Kann mir das jemand erklären? Verstehe ich leider gar nicht.

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Der arctan(x)=phi liefert nur Winkel -pi/2<=phi<=pi/2. Wenn du also alle Winkel von -pi bis pi (oder 0 bis 2pi ) erreichen willst, musst du eine Fallunterscheidung einbauen, abhängig des Vorzeichens von u und zum arctan noch den Winkel pi addieren. Bsp:

Der Punkt (u,v)=(-1,0) hat offensichtlich den Winkel y=180°

Aber:

Arctan(0)=0°

Weil das Vorzeichen von von v negativ ist gilt hier: y=arctan(v/u)+pi

Zu deiner Abbildung: es gibt mehrere Möglichkeiten die Umkehrfunktion aufzuschreiben (zumindest abschnittsweise), auch mit Arccos.

Dazu empfehle ich dir den Wikipedia Artikel zu Polarkoordinaten. Der einzige unterschied ist nun r=e^x.

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Ok danke das hat mir echt geholfen.

Aber prinzipiell ist es dann auch richtig wenn ich meine Umkehrfunktio so angebe oder

f^-1=1/2ln(u2+v2)+i arctan (v/u).

Und zu der Frage in b, wenn ich die Aufgabe im komplexen schreiben soll dann erhalte ich doch einfach die Umkehrfunktion oder?