Ableitung der Umkehrfunktion von y=f(x)=cos (x)

Question

f(x) = cos(x) umkehrfunktion f^-1 (x) =arccos(x)

man bestimme die erste ableitung von f^-1 mit der methode "ableitung der umkehrfunktion".

Comments

formel: g`(y)= 1/ f´(x)

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a ich kenne mich damit aus, aber ich muss jetzt gehen und ein Tutorium halten. Die Antwort ist einfach wenn du dabei bedenkst, dass sin²(x)=1-cos²(x) gilt und dass f(f ^-1(x))=x ist.

 Kommentiert vor 1 Minute von qarim

Answer 1

Hi,

Mit (f^-1)' = 1/f'(f^-1) folgt:

f(x) = cos(x)

f'(x) = -sin(x)

f^-1 = arccos(x)

 

(f^-1)' = 1/f'(f^-1) = 1/(-sin(arccos(x)))

 

Mit cos²+sin² = 1 --> sin = √(1-cos²)

-1/√(1-cos(arccos(x))²) = -1/√(1-x²), denn cos(arccos(x)) = x, hebt sich also gegenseitig auf.

 

Grüße

Comments

das ergebnis kannt ich aber das mit cos^2 sin^2 ist genial.. daher kommt dann auch die wurzel...ahhh... wann genau drehe ich generell die vorzeichen um?

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Den Pythagoras immer im Aug behalten ;).

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-1/√(1-cos(arccos(x))²)  das ² mus doch inclusive cos sein oder?

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Auf Deutsch bitte :p.

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cos(arccos(x))^{2 das hoch zwei gehört zum cos oder.. also cos von arcos von x}

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So stehts hier und so ists gemeint. Ja.

Kann auch geschrieben werden als cos^2(arccos(x))

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top danke hatte da ein + zeichen gesehen und hab den arcos ^2 genommen;-)