Ermittele eine rekursive Darstellung der Folge der Hypotenusenlängen

Question

Wie der Abbildung zu entnehmen, ist eine Folge von rechtwinkligen Dreiecken D1, D2, D3, … mit den Hypotenusenlängen 1, 2, 3, … angegeben worden. Den Anfang der Dreiecksfolge macht ein gleichschenkliges und rechtwinkliges Dreieck D1.

1. Beschreibe wie das zweite Dreieck D2 ausgehend vom ersten Dreieck D1 konstruiert werden kann.

2. Ermittele eine rekursive Darstellung der Folge der Hypotenusenlängen (an)∈ℕ und begründe die Richtigkeit der Darstellung.

3. Finde eine explizite Darstellung der Folge  (an)∈ℕ und beweise die Richtigkeit der gefundenen Darstellung per vollständiger Induktion.

Answer 1

Hallo Nele, hallo Lia,

1)

C ergibt sich als Schnittpunkt der Senkrechten zu ZB in B  mit dem Kreises um B mit r = 1

2)

rekursive Darstellung (Folgenglieder ergeben sich aus den vorhergehenden):

nach Pythagoras gilt  a_n+1 = √( a_n² + 1)   mit a₁ = √2

3)

explizite Darstellung (Folgenglieder ergeben sich aus der jeweiligen Folgengliednummer):

A(n):     a_n = √( n+1)    für alle n∈ℕ   

Induktionsbasis A(1):

 die Aussage ist wahr für n=1 , da  a_n = √2

Induktionsschritt:

 A(n) → A(n+1):              Induktionsvoraussetzug  IV

 a_n+1 = √( a_n² + 1)  =_IV  √[ (√( n+1))² + 1 ]  =  √[ n+1 + 1 ]   

Gruß Wolfgang

Comments

Ich verstehe nicht ganz wie 1 das begründen soll ? Ist etwas unverständlich.

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Meinst du das Konstruieren bei 1) ?

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ja, das meine ich

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Beschreibe wie das zweite Dreieck D2 ausgehend vom ersten Dreieck D1 konstruiert werden kann.

Zeichne dir das 1, Dreieeck D1 hin.

(Die Seitenlängen der Strecken ZA und AB ( =1 Längeneinheit )  kannst du dabei beliebig wählen)

Für D2 fehlt dir nur dann nur der Punkt C.

1) Zeichne in B die Senkrechte Gerade zu ZB.

2) Zeichne den Kreis um B mit Radius r = AB  (dieser hat die Länge 1 LE)

Deren "unterer" Schnittpunkt ist der Punkt C