Zeige dass f: R²->R² ,(x1,x2) -> x1+2x2,3x1-x2) surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Zeige das R²->R² ,(x1,x2) -> (x1+2x2,3x1-x2) surjektiv ist

Problem/Ansatz:

injektiv habe ich hinbekommen, nur fehlt mir ein Ansatz für den Nachweis der Surjektivität.

Die Definition ist für mich klar.

Kann ich (x1+2x2,3x1-x2) einfach als Span schreiben und sagen, der ganze R² wird davon aufgespannt?

Comments

Tipp: \(f\big(f(x_1,x_2)\big)=7(x_1,x_2)\).

Answer 1

man findet zu  beliebigem (y_{1 ,} y₂) aus der Zielmenge ℝ²  ein Urbild (x₁ , x₂) bzgl. f  in der Definitionsmenge ℝ²  aus dem linearen 2x2-Gleichungssystem

x₁+ 2x₂   = y₁   und   3x₁ - x₂ = y₂

 →   x₁ =  1/7·( y₁ + 2y₂)  ,    x₂ =  1/7·( 3y₁ - y₂)

→  f  ist  surjektiv

Gruß Wolfgang 

Comments

woher kommt den die 7 bzw. das 1/7? Dieser Schritt ist mir nicht ganz klar.

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Du musst ein LGS mit den beiden Variablen x₁ und x₂ lösen:

x₁+ 2x₂  = y₁  und  3x₁ - x₂ = y₂

3 * G1 - G2  →  7x₂ = 3y₁ - y₂   →   x₂ = 1/7 * ( 3y₁ - y₂ )

x₂ in G1 einsetzen und nach x₁ auflösen ergibt  x₁ =  1/7·( y₁ + 2y₂)