Häufigkeitspunkte der Folge an= ∑m^{k }

Question

Aufgabe:

Gib alle Häufigkeitspunkte der Folge an und Teilfolgen von (an), die gegen Limes superior bzw. Limes inferior konvergieren.

an= ∑m^k 

mit k=0 und bis n-1, m ∈ R

Problem/Ansatz:

Es handelt sich doch um eine geometrische Summenformel, daher hätte ich erstmal umgeformt zu

=(1-m^k)/(1-m)

Jedoch weiß ich nicht so recht, wie ich weiter machen soll. Ich glaube es zerfällt in vier Teilfolgen aber ist das richtig?

Answer 1

Du musst für m unterschiedliche Fälle unterscheiden.

Für |m| <  1 hast du eine konvergente unendliche Reihe

und da ist lim = lim sup = lim inf

und der Grenzwert   1 / (1-q) ist der einzige Häufungspunkt.

Gegen den konvergiert z.B. (als Teilfolge) die Folge selbst.

Die anderen Fälle musst du auch nach dem VZ von m

unterscheiden.