Welche Mengen sind linear unabhängig?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen sind linear unabhängig?

c.) {(1,-1,0),(1,0,-1)} ⊆ R hoch 3

d.) {w1, w2, w3} ⊆ R hoch 2, wobei w1, w2, w3 ∈ R hoch 2 beliebige von Null verschiedene Vektoren
sind.

Problem/Ansatz:

Aufgaben a und b habe ich schon gelöst, aber wie kann ich die c und insbesondere die d beweisen?

Bei der d weiß ich nur das sie linear abhängig ist, da ja jede Teilmenge des R hoch 2, die mehr als 2 Vektoren hat, linear abhöngig ist. Aber wie kann man das beweisen bzw. rechnerisch erklären?

Answer 1

d)

Unsere Lehrerin prägte immer den Satz: n linear unabhängige Vektoren spannen einen n-dimensionalen Raum auf.

3 linear unabhängige Vektoren sollten also einen 3-dimensionalen Raum aufspannen und eben kein R^2.

Wenn sie nur maximal den R^2 aufspannen müssen sie linear abhängig sein.

c)

Zwei Vektoren u und v sind linear unabhängig wenn die Gleichung r * u + s * v = 0 nur die Triviallösung r = s = 0 besitzt.