Kurvenscharen - Analyse ft(x) = 1/18x^4 + t/3x^3

Question

Von dieser Funktion:
ft(x) = 1/18x^4 + t/3x^3

benötige ich:

Extrempunkte, Wendepunkte und Ortskurve
eventuell bitte auch die Ableitungen, da ich nicht weiß wie ich die mit dieser Fkt. bilden muss

Comments

Wichtig!! Bitte brauche das

Answer 1

x^4 und x^3 sind nicht unter dem Bruchstrich?

Dann beginne mit

ft(x) = 1/18 x⁴ + t/3 x³

ft ' (x) = 4/18 x^3 + 3t/3 x^2

         = 2/9 x^3 + t x^2

ft '' ( x) = 6/9 x^2 + 2t x

         = 2/3 x^2 + 2tx.

Wendepunkte

0= 1/3 x^2 + 2tx = x(1/3x + 2t)

---> x = 0 und dazu y = 0. 

Kandidat für Wendepunkt W₁ (0|0)

oder 

1/3x + 2t = 0, d.h. 1/3 x = -2t. --> x = -6t

und dazu

ft(x) = 1/18 (-6t)⁴ + t/3 (-6t)³ = 0.

Kandidat für Wendepunkt W₂(-6t | 0)

Rechne bis hierhin mal nach und gib allenfalls nötigen Korrekturen an. Nach diesem Anfang, solltest du dann den Rest allein noch fertig bekommen, nehme ich an.

Answer 2

Ich habe mal unter folgendem Link eine Kurvendiskussion davon gemacht: https://docs.google.com/document/d/1zVm_pUMZVP4vbimW_iha8Wo5WejvU9qSAIPup63LiCs/pub

Kurvendiskussion

 

ft(x) = 1/18·x^4 + t/3·x^3

ft'(x) = 2/9·x^3 + t·x^2

ft''(x) = 2/3·x^2 + 2·t·x

 

Y-Achsenabschnitt ft(0)

 

1/18·0 + t/3·0 = 0

 

Nullstellen ft(x) = 0

 

1/18·x^4 + t/3·x^3 = x^3·(1/18·x + t/3) = 0

x1 = 0

 

1/18·x + t/3 = 0
x2 = - 6·t

 

Extremstellen ft'(x) = 0

 

2/9·x^3 + t·x^2 = x^2·(2/9·x + t)
x1 = 0

 

2/9·x + t = 0
x2 = - 9/2·t

 

ft(- 9/2·t) = - 243/32·t^4

ft''(- 9/2·t) = 9/2·t^2 > 0 --> Tiefpunkt

 

Ortskurve der Extrempunkte

 

2/9·x + t = 0
t = -2/9·x

 

f(x) = 1/18·x^4 + (- 2/9·x)/3·x^3 = - 1/54·x^4

 

Wendestellen ft''(x) = 0

 

2/3·x^2 + 2·t·x = x·(2/3·x + 2·t) = 0

x1 = 0

 

2/3·x + 2·t = 0

x2 = - 3·t

 

ft(- 3·t) = - 9/2·t^4

 

Ortskurve der Wendepunkte

 

2/3·x + 2·t = 0
t = - x/3

 

f(x) = 1/18·x^4 + (- x/3)/3·x^3 = - 1/18·x^4

 

Skizze

Answer 3

Die Ableitung ist doch sehr einfach: Betrachte t als Konstante und nutze die Potenzregel:

f _t ' ( x ) = [ ( 1 / 18 ) * x ⁴ + ( t / 3 ) * x ³ ] '

= 4 * ( 1 / 18 ) * x ³ + 3 * ( t / 3 ) * x ²

= ( 2 / 9 ) x ³ + t x ²

Damit kannst du nun die Kurvendiskussion machen:

 

Extremstellen:

f _t ( x ) = 0

<=> ( 2 / 9 ) x ³ + t x ² = 0

<=> x ² * ( ( 2 / 9 ) x + t ) = 0

<=> x ² = 0 oder  ( 2 / 9 ) x + t = 0

<=> x = 0 [doppelte Nullstelle] oder  ( 2 / 9 ) x = - t

<=> x = 0 oder  x = - 9 t / 2

Prüfe, ob an diesen Stellen Extremstellen von f ( x ) vorliegen. Das ist genau dann der Fall, wenn f _t ' ' ( x ) an diesen Stellen einen Wert ungleich Null annimmt.

 f _t ' ' ( x ) = ( 2 / 3 ) x ² + 2 t x

 f _t ' ' ( 0 ) = 0 (noch keine Aussage möglich)

 f _t ' ' ( - 9 t / 2 ) = ( 2 / 3 ) * ( - 9 t / 2 ) ² + 2 t * ( - 9 t / 2 )

= ( 2 / 3 ) * ( 81 t ² / 4 ) - 9 t ²

= 162 t ² / 12 - 9 t ²

= 27 t ² / 2 - 18 t ² / 2

= 9 t ² / 2 > 0

Also: An der Stelle x = - 9 t / 2 liegt ein Minimum von f _t ( x ) vor.

 

Zu untersuchen bleibt noch die Stelle x = 0 . Liegt dort eventuell eine Wendestelle vor?
Das ist dann der Fall, wenn f _t ' ' ( x ) = 0 ist (das ist für x = 0 der Fall, siehe oben) und f _t ' ' ' ( x ) <> 0 ist.

f _t ' ' ' ( x ) = ( 4 / 3 ) x + 2 t

Für x = 0 gilt:

f _t ' ' ' ( 0 ) = 2 t <> 0 <=> t <> 0

Also: Für t <> 0 hat f _t ( x ) an der Stelle x = 0 eine Wendestelle. Dies ist wegen f ' ( 0 ) = 0 sogar eine Wendestelle mit horizontaler Tangente, also eine Sattelstelle.

 

Gibt es noch weitere Wendestellen?

 f _t ' ' ( x ) = ( 2 / 3 ) x ² + 2 t x = 0

<=> x ( ( 2 / 3 ) x + 2 t ) = 0

<=> x = 0 [bereits untersucht] oder ( 2 / 3 ) x + 2 t = 0

<=> x = 0 oder ( 1 / 3 ) x = - t 

<=> x = 0 oder x = - 3 t

Also: Auch an der Stelle x = - 3 t könnte f _t ( x ) eine Wendestelle haben.

Prüfung:

f _t ' ' ' ( - 3 t ) =  ( 4 / 3 ) * ( - 3 t ) + 2 t = - 2 t <> 0 <=> t <> 0

Also: Für t <> 0 liegt auch bei x = - 3 t eine Wendestelle vor.

 

Was gilt für die Fälle t = 0 ?

Für t = 0 ist f _t ( x ) = f ₀ ( x ) = ( 1 / 18 ) x ⁴
Diese Funktion hat genau ein Minimum bei x = 0 und keine Wende- bzw. Sattelpunkte.

 

Ortskurve der Extremstellen von f _t ( x ):

Die x-Koordinaten der Extremstellen lauten (siehe oben):

x = - 9 t / 2

[Auflösen nach t]

t = - ( 2 / 9 ) x

Einsetzen in die Funktionsgleichung f _t ( x ) ergibt:

f ( x ) = ( 1 / 18 ) x⁴ - ( ( 2 / 9 ) x / 3 ) x³

= ( 1 / 18 ) x ⁴ - ( 2 / 27 ) x ⁴

= - ( 1 / 54 ) x ⁴

das ist die Gleichung der Ortskurve der Extremstellen.