Hilfe bei Ortskurven und Kurvenscharen

Question

Liebe Community,

ich stehe vor folgendem Problem:

Ich lag auf Grund einer fiesen Grippe die letzten beiden Wochen krank im Bett. 
Wie ich nun eben erfahren habe, werden wir morgen in Mathe einen wichtigen Test schreiben, der als Hauptkriterium die Halbjahresnote bestimmen wird. (13. Klasse, 2 Monate vor dem Abi :-) )

Nur habe ich leider nichts von dem Unterrichtsstoff der vergangenen Tage mitbekommen, so dass ich keine Ahnung von dem jetzigen Thema habe, da wir dies vorher noch nicht hatten. 

Es geht um Ortskurven und Kurvenscharen - Ich habe schon den Morgen mit google und Erklärvideos verbracht, bin aber leider nicht wirklich viel schlauer. Ich habe nun eine Musteraufgabe von einem Mitschüler bekommen, die wohl in der Form in dem Test dran kommen wird.


Aufgabe

Gegeben ist die Funktionenschar f(k)=(ex−k)2 mit k>0

1) Zeichnen Sie den Graphen für k=1 und a=2

2) Untersuchen Sie die Schar allgemein auf Schnittpunkte mit den Achsen, Extrempunkten und Wendepunkte

3) Bestimmen Sie eine Ortslinie für alle Wendepunkte des Graphen f(k)



Nun, Kurvendiskussionen sind mir geläufig. Allerdings habe ich zu jeder Aufgabe Fragen...

Was ist bei Aufgabe 1 mit a=2 gemeint? Woher kommt das a und was hat es zu bedeuten?

Wie unterscheidet sich eine Untersuchen einer einfachen Funktion von einer Kurvenschar? Rechne ich einfach mit einer weiteren Variablen (∈ diesem Fall k) und das Ergebnis ist dann irgendetwas mit k ?

Wie ich bisher herausgefunden habe, ist die Ortslinie eine Linie, die durch alle Wendepunkte des Graphen geht. Wie stelle ich diese auf bzw. bestimme ich sie?

Würde mich über jede Antwort sehr freuen, auch wenn sie ggf. nur Teile meiner Fragen beantwortet!


Vielen vielen Dank und einen schönen Sonntag!

LG Tom

Comments

Gegeben ist die Funktionenschar f(k)=(ex−k)2 mit k>0

ich vermute einmal es heißt

Gegeben ist die Funktionenschar f ( x ) = ( a * x − k )^2 mit k>0

Hast du den Orginal Aufgabentext zum Vergleich.

Es kann auch sein
f ( x ) = ( e^x − k )^2 mit k>0

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Ich habe mittlerweile herausgefunden, was da passiert ist.

Mein Lehrer wollte, dass wir zwei Graphen zeichnen.

Einen mit k=1 und den zweiten mit k=2

Das mit dem a=2 ist ein Tippfehler von ihm gewesen - Die Formel wie ich sie oben geschrieben habe, stimmt so.

Ich bin mittlerweile bis zu den Wendepunkten gekommen - verzweifle nun da aber. Kann mir da jemand bei der Rechnung helfen sowie die dritte Ableitung bestimmen? Vielen

Answer 1

Gegeben ist die Funktionenschar f(k)=(ex−k)2 mit k>0
heißt sicher  f_k(x)=(e^x−k)² mit k>0


Was ist bei Aufgabe 1 mit a=2 gemeint? Woher kommt das a und was hat es zu bedeuten?
Halte ich für einen Druckfehler  k=2

Wie unterscheidet sich eine Untersuchen einer einfachen Funktion von einer Kurvenschar? Rechne ich einfach mit einer weiteren Variablen (∈ diesem Fall k) und das Ergebnis ist dann irgendetwas mit k ? GENAU!

z.B. hier Wendepunkte  f_k ' (x) = 2*e^x * (e^x - k)     f_k ' ' (x) = 2*e^x * (2*e^x - k)   
also  Wendepunkt  bei  x= ln(k/2)   und f_k( ln(k/2) ) = k^2/4 
Und für die Ortslinie nimmst du einfach die Gleichungen
x= ln(k/2)     und  y= k^2/4 
und löst eine nach k auf
etwa  k = 2*e^x   und setzt bei der anderen ein   y = 4*e^{2x} / 4 =  e^{2x}
also ist y = e^{2x} die Gleichung der Ortslinie.

Comments

du hast vollkommen recht. Das mit a=2 war ein Rechtschreibfehler meines Lehrers.

Vielen Dank für deine Antworten - hat mir sehr geholfen.

Kurze Frage noch zu den Wendestellen - mir ist der Rechenweg nicht ganz klar, könntest du den eventuell noch einmal ausführen? Alles andere habe ich fertig. Vielen, vielen Dank

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Wendestellen bestimmt man so:

f ' ' (x) = 0 und dann die Lösungen dieser Gleichung ausrechnen.

Das war bei dir x= ln(k/2)

Rechenweg:     2*e^x * (2*e^x - k)  = 0 

Da 2e^x nie Null ist, bleibt nur die Klammer zu betrachten:

2*e^x - k = 0

2*e^x  = k

e^x = k/2

x = ln(k/2)    Eigentlich müsste jetzt noch f ' ' ' ( n(k/2)    ) ungleich 0 gezeigt werden

Das stimmt aber.

Also ist   x = ln(k/2)  der x_wert des Wendepunktes, und den y-Wert

bekommst du durch Einsetzen bei f (x) und das gibt dann y =  y= k²/4

denn e^x mit x= ln(k/2)   gibt ja genau  k/2.

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Perfekt!

Vielen, vielen Dank ;)

Ich hab die dritte Ableitung bisher leider noch nicht hinbekommen, könntest du mir da nochmal die Lösung sagen?

Vielen Dank nochmal und einen schönen Abend!

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Ich habe f ' ' '(x) = 2 e^x ( 4 e^x - k ) raus.