Formel von de Moivre, Potenzreihen

Question

Aufgabe:

Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen weisen Sie für z= |z|*e^iφ den Zusammenhang zⁿ= |z|ⁿ (cos(nφ)+ i*sin (nφ)) nach. Stellen Sie sin z und cos z durch e^(iz) und e^-iz dar. Weisen Sie für die hyperbolischen Fkt. die Darstellungen sinh z= sin(iz)/i sowie cosh z = cos (iz) nach.

Problem/Ansatz:

z= |z|*e^iφ = |z|*(cos(φ)+ i * sin(φ))= \( \sqrt{x^2+y^2} \) * \( \frac{x}{ \sqrt{x^2+y^2}} \) + i * \( \frac{y}{ \sqrt{x^2+y^2}} \)

Ich verstehe nicht so wirklich die Frage. Soll ich das Ganze über die Taylorreihe beweisen? Wir hatten bisher Konvergenz, Quotientenkriterium, aber auch die Taylorreihe. Würde das über vollständige Induktion auch gehen?

Comments

Könnte mir bitte jemand weiterhelfen?

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Dein Anfang ist zu kompliziert.

n=1 ist ok.

Schreibe auch e^(-iz) explizit hin und studiere dann mal die Herleitung hier.

https://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz#Herleitung

Du kannst auch die Sprachen noch variieren in Wikipedia.

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Den Ansatz mit Potenzreihen findest du hier https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Analytische_Definition

Und dann eine Rechnung dazu hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus#Beziehung_zur_Exponentialfunktion

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Darf man mit vollständiger Induktion vorgehen?

In der Aufgabe steht "Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen..."

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Stellen Sie sin z und cos z durch e^(iz) und e^(-iz) dar.

Ich habe gedacht, das sei die Frage. Kannst du das denn?

Was darfst du denn überhaupt voraussetzen? 

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Die Reihentwicklung der e-Fkt. über komplexe Zahlen kenne ich bereits.

x= i*phi, x^k= (iphi)^k

\( \sum\limits_{l=0}^{\infty}{e^(iphi)} \)  = 1+iphi+(i^2phi^2)/2!+......

Anschließend erhält man nach dem Ordnen e^(iphi)= cos x + i * sin x

Nur ich weiss nicht, wie man das Prinzip hierdrauf anwendet.

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Das sind nun wohl drei Fragen.

Ausgehend von den jeweiligen Potenzreihen 

a) weisen Sie für z= |z|*e^{iφ }den Zusammenhang z^{n}= |z|^{n }(cos(nφ)+ i*sin (nφ)) nach. 

b) Stellen Sie sin z und cos z durch e^(iz) und e^{-iz }dar. 

c) Weisen Sie für die hyperbolischen Fkt. die Darstellungen sinh z= sin(iz)/i sowie cosh z = cos (iz) nach.

Was du verwenden darfst, ist noch nicht gesagt. Trigonometrischen Pythagoras, Potenzregeln, Rechenregeln mit komplexen Zahlen, ... oder?

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Ich soll verwenden. Rechengesetze mit komplexen Zahlen, Ableitungen von komplexen Variablen, generell alles was mit komplexen Zahlen zu tun hat 

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Mein Ansatz für die b)

sin z durch e^(iz) und e^(-iz) darstellen:

sin z= 1/2i * (e^(iz)-e^(-(iz))

e^(iz)= cos z + i sin z

e^(-iz)= 1/e^z = 1/(cos z + i sin z) = (cos z - i sin z)/ (cos^2 z +sin ^2 z)

1/2 i * (cos z + i sin z- ( (cos z - i sin z)/ (cos^2 z +sin ^2 z)) ?

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sin z= 1/2i * (e^(iz)-e^(-(iz)) das ist das Ziel bei b) . Einverstanden? 

Zeige erst mal noch den Pythagoras.

(cos^2 z +sin ^2 z) = 1 . Dann kommst du mit deiner Rechnung einfacher weiter. 

Musst du denn bei b) und c) auch mit Potenzreihen argumentieren oder darfst du z.B. a) verwenden? 

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cos z= 1/2 * (e^(iz) + e^(-iz)

"sin z= 1/2i * (e^(iz)-e^(-(iz)) das ist das Ziel bei b) . Einverstanden?"

Müsste man nicht die Rechnung noch "vervollständigen" durch ausmultiplizieren etc. bei b) und c) kann ich die a) verwenden.

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Nochmal versucht alles sauber aufzuschreiben:

Stellen Sie sin z und cos z durch e^(iz) und e^(-iz) dar.

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Meine Rechnung baut auf die Eulersche Identität auf:

e^(i*phi)= cos phi + i sin phi,         phi∈ℝ

Rez (e^(iphi)) =  cos phi

Imz (e^(iphi)=     sin phi

Betrag von e^(iphi) = Wurzel aus cos ^2 phi + sin^2 phi = 1

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sin z= 1/2i *(e^(iz)-e^(-iz))

-e^(-iz) = 1/e^(iz) = 1/(cos (z) + i sin(z))= (cos(z) - i sin (z))/cos^2(z)+sin^2(z)=(cos(z) - i sin (z))

für e^(iphi) einsetzen: cos z + i sin z

sin z= 1/2i * ((cos z + i sin z) - (cos(z) - i sin (z))

sin z= 1/2 *(-i^2*sin^2z)

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ups, es sollte in der letzten Zeile

sin z= 1/2 * (2i sin z) heißen

sin z= i sin z

wäre das Ergebnis?

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sin z= 1/2i * (e^(iz)-e^(-(iz))

Holst du am Schluss von oben und fährst dann fort mit

                                         | für e^(iz) einsetzen: cos z + i sin z
sin z= 1/2i * ((cos z + i sin z) - (cos(z) - i sin (z))

Dann bekommst du voraussichtlich

sin z = sin z

Noch etwas: Steht das i unter dem Bruchstrich, müsste das eigentlich 1/(2i) heissen. 

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Ich kann deinen Kommentar nur teilweise sehen. Technische Probleme?

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Nein. Die letzte Zeile in grau war eine ergänzende Anmerkung.

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für den cos z:

habe ich einen Teil aus der Aufgabe a) behalten und erhalte

cos z = 1/2 * (cos z + i sin z + (cos z - i sin z))

cos z = 1/2 * 2 cos z

cos z = cos z

dasselbe mache ich bei den hyperbolischen Funktionen?, bei der a) habe ich immer noch keine Idee

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Aber danke für deine Hilfe!

Answer 1

e^(i*phi)

= Summe k=0 bis Unendlich (i*phi)^n/n!

Erinnere dich nun, was die Potenzen von i ergeben und zerlege in zwei Reihen, welche dann letztendlich COS und sin ergeben.

Comments

Ja, aber aus der Aufgabe geht hervor, dass man über eine Potenzreihe verfahren solle. Dein Ansatz geht doch über die Induktion/Taylorreihe (-> ist eine Reihe) ?

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Ist doch eine Potenzreihe. Die Variable darf auch mal phi heissen.

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e^iΦ = ( \( \sum\limits_{l=0}^{\infty}{(i*Φ)}^n \) )/n

Wie kommt man auf den rechten Ausdruck?

die Potenzen von i^2=-1, i= Wurzel aus -1

i^4n= +1

i^(4n+1)=i

i^(4n+2)= i^2=-1

i^(4n+3)=-i

i^(4n+4)=i^(4n)=+1

Wie gehe ich nun vor?

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Nun noch e^(-iphi) hinschreiben.

Dann die beiden Resultate subtrahieren / addieren und schauen, was da so alles wegfällt.

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e^(-iphi)= 1/e^(iphi) = 1/(cos phi + i sin phi)= (cos phi-i sin phi)/(cos^2 phi + sin ^2 phi)

?

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Ich schlage das so vor:

e^(-iphi)= (cos(- phi) + i sin (- phi) ) = cos(phi) - i sin(phi)

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Man kann doch ganz einfach den Kehrwert einer Komplexen Zahl berechnen, indem man folgendermaßen vorgeht:Mit dem komplex Konjugierten des Nenners Zähler und Nenner des Bruches erweitern

1/z= 1/Betrag von z zum Quadrat * z*

(Habe die Aufgabenstellung editiert, s.o.

Fehlt in deinem Post nicht der Nenner?

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Stimmt, das hast du nun dasselbe raus wie ich. Ich verwende halt die Symmetrien von sinus und cosinus. Wie anderweitig schon erwähnt. Man müsste ganz genau wissen, was du voraussetzen kannst. Ziel ist anscheinend: z^{n}= |z|^{n }(cos(nφ)+ i*sin (nφ)) zu zeigen.

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Von hyperbolischen Funktionen war vorher nicht die Rede. Geht aber im Wesentlichen gleich.

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Ja, jetzt fehlt mir nur noch der Ansatz, wie genau.

Ich würde es über die Taylorentwicklung irgendwie versuchen. Es ist schließlich eine (Potenz-)Reihe mit unendlich vielen Summanden. Aber die vollst. Induktion, ist glaube ich nicht erwünscht, laut Aufgabe? Außerdem die Voraussetzungen stehen in der obigen Aufgabenstellung (editiert).

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e^(-iphi)= 1/e^(iphi) = 1/(cos phi + i sin phi)= (cos phi-i sin phi)/(cos^{2} phi + sin ^{2} phi)

Hier bräuchtest du noch den trigonometrischen Pythagoras.

==> letzter Nenner = 1.