Beweis de Moivre mittels Euler

Question

Siehe Anhang:

Beweis de Moivre mittels Euler-Formel.pdf 2.pdf (5 kb)

Answer 1

[e^{iΘ}]^n=e^{iΘn} Potenzgesetz

auf beiden Seiten nun die eulersche Formel anwenden

(cos(Θ)+isin(Θ))^n=cos(Θn)+isin(Θn)

Comments

Was in deiner ersten Zeile steht, ist mir klar. Doch in der zweiten Zeile stolpere ich: Wie wende ich die Eulersche Formel auf beide Seiten an und bekomme das Ergebnis cos(Θn)+isin(Θn?

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die Euler Formel lautet:

$$ e^{i\varphi}=cos(\varphi)+isin(\varphi) $$

Links setzt man also

$$ e^{i\theta}=cos(\theta)+isin(\theta)$$

ein und nimmt das ganze dann noch hoch n , weil das vorher dastand.

Auf der rechten Seite identifiert man $$ \varphi=n\theta $$

und wendet die Formel dort ebenso an.

Answer 2

Das ist immer so bei komplexen Zahlen.

Wenn du zwei multiplizierst, etwa

z1 = cos(alpha) + i*sin(alpha) und

z2 = cos(beta) + i*sin(beta)

Dann ist das Produkt

z1*z2 = cos(alpha+beta) + i*sin(alpha+beta)

also bei einer Poten

z1 ⁿ = cos( n*alpha) + i*sin(n* alpha)

Comments

Das sagt de Moivre auch, aber ich wüsste gern, mit welchem Recht, und da bin ich auf den Beweis mittels der Euler-Formel gestoßen, den ich leider nicht verstehe.