Grenzwert von Folgen bestimmen

Question

 ich soll wenn es möglich ist den Grenzwert der folgen berechnen. Ich habe mal zwei der Aufgaben unten aufgelistet, ich hoffe jemand kann mir die gut erläutern  damit ich die restlichen selbst lösen kann.  

( an+ bn)∈ℕ, (anbn) ∈ℕ ,             (an/bn)∈ℕund (bn/an)∈ℕ

1. an=1/n',   bn=8 für alle ∈ ℕ.

2. an=2/n^2', bn  = 13 für alle ∈ ℕ.

Comments

Hallo Lina,

Es ist unklar, wie die Folgen definiert sind. Du schreibst: $$a_n = \frac{1}{'} \space \dots \\ a_n = 2 / ^{2'} \space \dots $$ daraus werde ich nicht schlau. Mit \(\in \mathbb{N}\) meinst Du wahrscheinlich \(n \in \mathbb{N}\) - oder?

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ja du hast Recht. Es würden mir immer die "n" weg gemacht, als ich die Frage gestellt habe. Habe es überwiegend korrigieren können aber leider nicht alles. Und ja es soll immer n  Element aus N heißen :)

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ok - und wie sind die Folgen definiert? .. ich meine: was ist das \(n'\)

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Die können weg, entschuldige das sollten eigentlich Kommentar werden.... Aber das es dir auffällt heißt du beschäftigst dich wirklich damit. Danke

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Vielleicht geht es so besser?

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... das erklärt nicht, was mit \(n'\) gemeint ist. Wenn man das mal ignoriert, ist es relativ einfach: siehe meine Antwort.

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Ich habe mir gedacht, dass das eventuell einfach ein Kommentar sei  soll ? Sonst macht es ja keinen Sinn...Oder?

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Einen Kommentar sehe ich da nicht. Das Apostroph wird i.A. für zwei Dinge benutzt. Für Ableitungen und für abgeleitete Größen (z.B. Bildpunkte). Beides macht hier keinen Sinn.

\(b_n=13 \colorbox{#ffff00}{n}\) (!) das ändert natürlich das Ergebnis! (s. meine Antwort) Versuche es bitte selber. Wenn Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte nochmal. Ich mache jetzt erstmal Schluß.

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Das ist ein Komma bzw. deren zwei?^^

Answer 1

Hallo Lina,

(1) \(a_n = \frac 1n\) und \(b_n = 8\) dann ist $$\begin{aligned} a_n + b_n &= \frac 1n + 8 \\ \lim_{n \to \infty} \frac 1n + 8  &= 8 \end{aligned}$$ da der Term \(\frac 1n\) mit \(n \to \infty\) gegen \(0\) geht; die \(8\) bleibt dann stehen. $$\begin{aligned} a_n \cdot b_n &= \frac 8n \\ \lim_{n \to \infty} \frac 8n &= 0\end{aligned}$$ ... aus dem gleichen Grund wie oben. Umso größer das \(n\) wird, desto kleiner wird der Term \(\frac 8n\).  $$\begin{aligned} \frac{a_n}{b_n} = \frac 1{8n} \\ \lim_{n \to \infty} \frac1{8n} = 0\end{aligned}$$ aus dem gleichem Grund wie oben. Ob davor ein Faktor von \(8\) oder \(\frac 18\) steht, spielt keine Rolle. $$\begin{aligned} \frac{b_n}{a_n} &= 8n \\ \lim_{n \to \infty} 8n &= \infty\end{aligned}$$ wächst mit wachsendem \(n\), es existiert kein Grenzwert.

(2) \(a_n = \frac 2{n^2} \) und \(b_n = 13\). Damit ändern sich an den Ergebnissen rein gar nichts. Na ja fast - der Limes der Summe ist \(13\) statt \(8\). Aber ansonsten kannst Du nun obige Lösung abschreiben und statt \(n\) das \(n^2\) und statt der \(8\) die \(13\) einsetzen.

Answer 2

Hallo

schreib doch mal an+bn und an*bn  usw einfach hin, dann bestimme den GW. oder benutze, dass lim an +bn= lim an +lim bn wenn die einzelnen GW beide endlich sind. genauso für lim an*bn

 bei 1. ist  an nicht lesbar, sieh dir deine posts doch in der Vorschau an

Gruß lul