Ich muss folgende Aufgabe für Lina lösen. Ich habe zwar eine grobe Ahnung um was es geht jedoch fehlt mir ein kleiner schubs in die richtige Richtung.
Aufgabe:
$$\text{Sei die Ursprungsgerade } L = \{(x_1; x_2) \in \mathbb{R}^2 : 2x_1 + 3x_2 = 0\} \text{ gegeben.} \\\text{Sei M eine Ursprungsgerade in } \mathbb{R}^2 : M \perp L \\ \text{Sei } \pi : \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \text{ orthogonale Projektion auf die Gerade } L \text{ ( d.h } x\in \mathbb{R}^2 \exists! \pi (x) \text{ auf } L : x- \pi (x)\perp L ) \\\land σ: \mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}^2 \text{ die Spiegelung an der Geraden } M \\[10pt] \text{ a) Bestimmen Sie π(x) und σ(x) in Abhängigkeit der Koordinaten } x_1; x_2 \text{ von } x \\\text{ b) Zeigen Sie, dass die linearen Abbildungen π und σ miteinander kommutieren: } π \circ σ = σ \circ π $$
Problem/Ansatz:
a)
Ich vermute zuerst muss man für diese Aufgabe L aus der Koordinatenform in die Parameterform umwandeln. Danach würde ich M bestimmen. Da M orthogonal zur L ist bedeutet dies, dass der Skalarprodukt beider geraden 0 ergeben muss. Ich vermute deshalb, dass M eine symmetrische gespiegelte Gerade zur L ist. Ich würde deshalb M so definieren:
$$L:2x_1+3x_2=0 \longrightarrow L: \vec X=\vec {OV}+r*\vec {RV} \\ \text{Sei } x_1=r \Longleftrightarrow x_1=0+r*1 \\\longrightarrow 2t+3x_2=0 \\x_2= 0+\frac {-2}{3}*r \\\Longrightarrow L: \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 1\\\frac{-2} {3} \end{pmatrix}$$
$$ L: \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}+ r\begin{pmatrix} 1\\\frac {-2}{3} \end{pmatrix} \\M: \\ \vec {OV}= \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}\\ \vec{RV} \begin{pmatrix} 1\\\frac {-2}{3} \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=0 \Longrightarrow \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac {2}{3}\\1 \end{pmatrix} \\\Longrightarrow M:\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix}+ s\begin{pmatrix} \frac {2}{3}\\1\end{pmatrix}$$ Ich vermute weiter, dass der Punkt σ(x) der Punkt ist wo die geraden gespiegelt werden, er ist somit der einziger Schnittpunkt der beiden geraden also ist Punkt σ(x)= (0,0). Ist dieser Gedankengang korrekt oder falsch? Bei π(x) kann ich die Kondition ''orthogonale Projektion'' nicht nachvollziehen und sehe nicht wie ich den Punkt bestimmen soll. b) Ich vermute ich soll aus den beiden geraden jeweils eine Abbildungsmatrix bilden und dann zeigen, dass für Lineare geraden, die orthogonal folgende regel gilt: $$Abb. Mat(L) \times Abb. Mat(M)=Abb. Mat(M)\times Abb. Mat(L)$$
Die Besonderheit dabei ist ja, dass für Matrizen dies allgemein nicht gilt.
Geht meine Idee diese Aufgabe zu lösen in die richtige Richtung? Falls ja wie beweise ich dies? Soll ich einfach es ''ausrechnen'' mit den Informationen die zuvor entdeckt wurden oder soll ich dies anderorts beweisen?
