Rationale Zahlen Bestimmen Vektor

Question

Gegeben ist die folgende Ebene in R^3:$$ E: \begin{pmatrix} 12\\2\\-5 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 6\\3\\2 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 6\\1\\-2 \end{pmatrix}; \lambda,\: \mu \in \mathbb{R} $$Bestimmen Sie die rationalen Zahlen n₁, n₂, n₃ und d so, dass

E = {(x₁,x₂,x₃)€R³I n₁x₁+n₂x₂+n₃x₃ = d}

die Hesse-Normalform von E ist.

Geben Sie ihre Antwort als vollständig gekürzte Brüche mit positivem Nenner an.

n₁= (?/?), n₂=(?/?),n₃=(?/?), d=(?/?)

ich brauche es sehr bevor es 12 Uhr wird.

Ich werde versuchen es danach zu lösen.

konnte es echt nicht früher stellen und mich vorbereiten.

deswegen würde jede hilfe sehr entgegen kommen.

Comments

das schlimme ist ich finde nicht mal ein video^^

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Bestimme zunächst einen Normalenvektor zur Ebene E.

(Das ist Schulstoff, sollte also möglich sein.)

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also ich hab jetzt einen kreuzprodukt mit dem spannvektoren gemacht.

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Ok, der Ansatz mit dem Kreuzprodukt ist ein möglicher Ansatz, die Rechnung ist aber falsch.

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und wie genau geht es weiter?

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kannst mir bitte vorher die lösungen sagen?

ich rechne noch nach

habe aber nur biss 12 uhr zeit einzugeben.

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ich habe

für n1=(2/7) raus.

stimmt das?

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Entschuldige bitte, ich habe mich verrechnet. Dein Ergebnis des Vektoprodukts (-8 / 24 / -12) war richtig.

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kein thema.

sind die Lösungen von

n1= (2/7)

n2=(-6/7)

n3=(3/7)

d=(-3/7)

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Ja, gut!                      .

Answer 1

Hallo immai,

versuche $$E = \left\{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \space \middle | \frac{-2}7 x_1+ \frac{6}7 x_2+ \frac{-3}7  x_3= \frac 37 \right\}$$

Du hast \(\vec{n}\) und den Betrag von \(\vec{n}\) richtig berechnet. Nur danach setzt Du den Betrag für alle Koordinaten ein, das ist doch Unsinn. Es ist: $$\vec{n}_0 = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac1{28} \begin{pmatrix} -8\\ 24\\ -12\end{pmatrix} = \frac 17 \begin{pmatrix} -2\\ 6\\ -3\end{pmatrix} $$ und $$ \vec{n}_0 \cdot \vec{p} = \frac 17 \begin{pmatrix} -2\\ 6\\ -3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 12\\ 2\\ -5\end{pmatrix} = \frac {-2\cdot 12 + 6  \cdot  2 + (-3) \cdot (-5)}7 = \frac 37$$

Comments

bei dem zweiten habe ich 3 raus?

d= 12

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bei dem zweiten habe ich 3 raus?

was ist das 'zweite'? Die Anforderung ist, dass \(\sqrt{n_1^2 + n_2^2 + n_3^2} = 1\) somit gilt $$|n_i| \le 1 \space \forall i \in \{1,2,3\}$$

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... habe meine Antwort noch mal erweitert