Isomorphismus ψ:= idV −φ zeigen

Question

Aufgabe:

Seien V ein K-Vektorraum und φ : V → V eine lineare Abbildung mit φ ◦ φ = 0. Zeigen Sie, dass ψ  := idV −φ dann ein Isomorphismus ist.

Answer 1

Dass  ψ auch eine lineare Abbildung ist, ist wohl klar,

es ist die Differenz zweier linearer Abbildungen

id und φ, also auch linear.

Ist  ψ Injektiv ?

Seien also u und v aus V und

ψ(u) =  ψ(v)

==>   u - φ(u)   = v -  φ(v)

==>   u - v   =  φ(u) -  φ(v) =   φ(u - v )   #

Darauf nochmal   φ anwenden gibt

       φ(u - v )   =   φ(φ(u - v ))

und wegen   φ o φ = 0  ist das gleich 0, also

               φ(u - v )  und wegen # auch  u-v=0, also u=v.

==>    ψ Injektiv .

Und somit ist  ψ : V --->  V   ein injektiver Homomorphismus,

also sein Kern = {0} und wegen

dim Bild( ψ) + dim(Kern( ψ) = dim V  folgt

          dim Bild( ψ)  = dim V

also ist Bild( ψ)  ein Unterraum von V, der die gleiche Dimension

wie V hat, also gleich V.

Na ja: Wenn Bild( ψ)  = V , dann ist  ψ auch surjektiv.      q.e.d.

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