Wie finde ich die Matrix A dieser Aufgabe ?

Question

Gegeben seien $$f: \space \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2, \quad \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a + b +i c\\ b + c \end{pmatrix} \\ g: \space \mathbb{C}^3 \to \mathbb{C}^2, \quad\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} a + b +i c\\ b + c +1 \end{pmatrix} $$ a) Untersuchen Sie \(f\) und  \(g\) auf Linearität.

b) Finden Sie eine Matrix \(A\), so dass \(f \left( \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} \right) = A\cdot \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix}\) für alle \(\begin{pmatrix} a\\ b\\ c\end{pmatrix} \in \mathbb{C}^3\)

c) Bestimmen Sie \(\ker(f) \) und geben Sie eine Basis des Kerns an.

d) Ist f injektiv/surjektiv ?

Ich bitteee um Hilfeeee:

ich brauche bei der Aufgabe b.) Hilfe, ich weiss ich muss die Matrix multiplizieren, jedoch habe ich keinen Schimmer wie das funktioniert.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie bestimme ich den Kern (f) ?

Stichworte: matrix,matrixgleichung

Leutee ich brauche eure hilfe !!

Undzwar muss ich den Kern von (f) bestimmen.

Ich weiss aber nicht wie ich anfangen soll.

f : ℂ³  →  ℂ²  \(\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}\)↦\(\begin{pmatrix} a+b+ic \\ b+c\end{pmatrix}\)

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Das ist c) in dieser bereits vorhandenen Frage.

Answer 1

Der Kern von f ist die Menge aller Nullstellen von f. Löse also die Gleichung f(x) = 0.

Answer 2

Ist die Matrix nicht einfach:

A = [1, 1, i; 0, 1, 1]

Prüf das doch mal und frage dich dann wie ich wohl auf die Matrix gekommen bin.