Hallo Waelk,
so graphisch ist das klar, wenn man sich mal ein paar Beispiele ansieht (siehe auch Fixpunktiteration). Beweisen lässt sich das über eine Fallunterscheidung:
1. Fall \(f(x_n) < x_n\), dann ist auch \(x_{n+1} = f(x_n) < x_{n}\). Und da \(f\) eine monoton wachsende Funktion ist, muss dann auch \(f(x_{n+1}) < f(x_n) = x_{n+1}\) sein. D.h es folgt unmittelbar: $$f(x_n) < x_n \space \implies f(x_{n+1}) < x_{n+1} < x_n$$ jedes Folgeglied \(x_{n+1}\) ist in diesem Fall kleiner als sein Vorgänger \(x_n\). Die Folge ist also monoton fallend.
2. Fall \(f(x_n) > x_n\), dann ist auch \(x_{n+1} = f(x_n) > x_{n}\). Und da \(f\) eine monoton wachsende Funktion ist, muss dann auch \(f(x_{n+1}) > f(x_n) = x_{n+1}\) sein. D.h es folgt unmittelbar: $$f(x_n) > x_n \space \implies f(x_{n+1}) > x_{n+1} > x_n$$ jedes Folgeglied \(x_{n+1}\) ist in diesem Fall größer als sein Vorgänger \(x_n\). Die Folge ist also monoton wachsend.
3. Fall \(f(x_n) = x_n\), dann ist \(x_{n+1} = x_n = \xi \space \forall n\)
zu (b): aus der Vorgabe, dass \( f: [a,b] \to [a,b]\) abbildet und \(f\) stetig ist, folgt, dass \(f(a) \ge a\) und \(f(b) \le b\) sein muss. Da \(f\) stetig ist, folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass es mindestens einen Punkt \(f(\xi) = \xi \in [a,b]\) geben muss; siehe auch hier. Damit wäre gezeigt, dass mindestens ein Punkt \(\xi = f(\xi)\) existiert.
Wir haben schon gezeigt, dass die Folge \(x_n\) monoton ist. Und da \(f\) immer nur auf das Intervall \([a,b]\) abbildet, wird das Intervall auch nicht verlassen, woraus folgt, dass auch ein Grenzwert \(\bar x \) existiert. Es ist $$\bar x = \lim_{n \to \infty} x_{n+1} = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f\left( \lim_{n \to \infty} x_n \right) = f(\bar x) \\ \quad \implies \bar x = \xi \quad \text{q.e.d.}$$ Gruß Werner
