Verständnisfrage für den Dimensionssatz

Question

ich habe eine Verständnisfrage, da ich etwas zu den Dimensionen nicht verstanden habe. Wenn ich von einer Menge in eine andere abbilde dann ist der Kern doch im Bild enthalten. Der Dimensionssatz lautet dim V = dim Bild(f) + dim Kern (f).

Der Kern liegt doch im Bild oder nicht? Oder liegt der Kern in der Menge von der Abgebildet wird und das Bild in der Menge in die man Abgebildet hat ohne die Menge die im Kern ist.

Und könnt ihr mir ein Beispel geben in dem der Kern eine Dimension hat?

Wenn ich von ℝ^3 in ℝ^2 abbilde und die Koordinaten (x,y,z) zu (x+y,y) werden hat der Kern dann eine Dimension und das Bild 2?

Answer 1

Der Kern liegt doch im Bild oder nicht?

Nein.

Sei f: V→W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen V und W.

Dann ist Kern(f) = {v∈V | f(v) = 0}. Insbesondere ist Kern(f) ⊂ V.

Außerdem ist Bild(f) = {w∈W | ∃v∈V: f(v) = w}. Insbesondere ist Bild(f) ⊂ W.

Und könnt ihr mir ein Beispel geben in dem der Kern eine Dimension hat?

Vektorräume haben eine Dimension. Der Kern hat eine Dimension, wenn er ein Vektorraum ist. Wenn die Abbildung linear ist, dann ist der Kern ein Vektorraum. Also: wenn die Abbildung linear ist, dann hat der Kern eine Dimension. Finde eine Beispiel für eine lineare Abbildung, dann hast du ein Beispiel gefunden, in dem der Kern eine Dimension hat.

Wenn ich von ℝ³ in ℝ² abbilde und die Koordinaten (x,y,z) zu (x+y,y) werden

Dann ist der Kern die Menge aller (x,y,z), für die

(1)        x+y = 0

und

(2)        y = 0

ist. Lösungmenge dieses Gleichungssystems ist

        {v ∈ ℝ³ | ∃ z ∈ ℝ: v = (0, 0, z)}.

Damit ist die Lösungsmenge ein Vektorraum, hat also eine Dimension und diese ist 1.