Dimensionssatz und Matrizen?

Question

Aufgabe: 

Seien zwei Matrizen

\( A=\left(\begin{array}{ccc}{2 e} & {5} & {2 \pi} \\ {-9} & {3 e} & {\pi}\end{array}\right) \quad \) und
$$ B=\left(\begin{array}{ccc} {-4} & {16} & {-68} \\ {3} & {-12} & {51} \end{array}\right) $$
gegeben, wobei \( e \) die Eulersche Zahl ist. Bestimmen Sie die Dimensionen der Kerne und Bilder der Matrizen \( A \) und \( B \).

 Problem/Ansatz:

Ich habe den Kern mit einer lineare Gleichung gelöst und bei der Matrix A = \( \begin{pmatrix} \frac{-113}{279}z\\\frac{-51}{62}z\\z \end{pmatrix} \)  und bei der Matrix B = \( \begin{pmatrix} 4y-17z\\y\\z \end{pmatrix} \) rausbekommen. Ist es richtig?

Nun weiß ich auch nicht wie man das Bild bestimmt.. und was ist mit "Dimensionen der.." gemeint muss ich da auch noch etwas mit Dimensionen machen?

Ich komme hier gar nicht weiter..

Comments

B = \(\begin{pmatrix} 4y-17z\\y\\z \end{pmatrix}\)

Weiter oben hast du noch behauptet, B wäre die Matrix \(\left(\begin{array}{ccc} {-4} & {16} & {-68} \\ {3} & {-12} & {51} \end{array}\right)\).

Bitte verwende das Gleichheitszeichen nicht als Abkürzung für "ist" oder ähnliches, sondern nur wenn du etwas über die Gleichheit zweier mathematischer Objekte aussagen möchtest.

Answer 1

Kern von B ist richtig, Kern von A nicht.

Comments

Ich habe die 2e => 2*e berechnet und das Ergebnis dann gerundet. genauso auch bei 2pi und 3e...

dann war mein Matrix : \( \begin{pmatrix} 5,4 & 5 & 6,3 \\ -9 & 8,2 & 3,1 \end{pmatrix} \)

richtig oder falsch ?

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und das Ergebnis dann gerundet.

Das wird wohl der Grund sein, warum dein Ergebnis falsch ist.

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andersrum kommt da ein großes Zahl raus

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Was meinst du damit genau? Welches Ergebnis hast du ohne Runden bekommen?

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Diese Zahlen kommen dabei raus:

2e = 5,436563657
3e = 8,154845485
2pi = 6,283185307
pi = 3,141592654

Wie hast du es denn bei der A gemacht ?

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2e = 5,436563657

Du hast schon wieder gerundet.

Wie hast du es denn bei der A gemacht ?

\(\begin{aligned} & \phantom{\leadsto}\,\begin{pmatrix}2e & 5 & 2\pi\\ -9 & 3e & \pi \end{pmatrix} &  & \begin{matrix}|\,:2e\\ \\ \end{matrix}\\ & \leadsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5}{2e} & \frac{\pi}{e}\\ -9 & 3e & \pi \end{pmatrix} &  & \begin{matrix}\\ |\,+9\cdot\mathrm{I} \end{matrix}\\ & \leadsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5}{2e} & \frac{\pi}{e}\\ 0 & \frac{6e^{2}+45}{2e} & \frac{9\pi+e\pi}{e} \end{pmatrix} &  & \begin{matrix}\\ |\,\cdot\frac{2e}{6e^{2}+45} \end{matrix}\\ & \leadsto\begin{pmatrix}1 & \frac{5}{2e} & \frac{\pi}{e}\\ 0 & 1 & \frac{18\pi+2e\pi}{6e^{2}+45} \end{pmatrix} &  & \begin{matrix}|\,-\frac{2e}{5}\cdot\mathrm{II}\\ \\ \end{matrix}\\ & \leadsto\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{6e\pi-5\pi}{6e^{2}+45}\\ 0 & 1 & \frac{18\pi+2e\pi}{6e^{2}+45} \end{pmatrix}\\ \implies\ker A=\left\langle \begin{pmatrix}-\frac{6e\pi-5\pi}{6e^{2}+45}\\ -\frac{18\pi+2e\pi}{6e^{2}+45}\\ 1 \end{pmatrix}\right\rangle  & =\left\langle \begin{pmatrix}5\pi-6e\pi\\ -18\pi-2e\pi\\ 6e^{2}+45 \end{pmatrix}\right\rangle \end{aligned}\)

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Dankeschönn :)

Also ist unser Dimension von Kern = 2, so wie es aussieht

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Die Dimension des Kerns von A ist 1. Der Kern von A wird durch den Vektor

        \(\begin{pmatrix}5\pi-6e\pi\\ -18\pi-2e\pi\\ 6e^{2}+45 \end{pmatrix}\)

erzeugt.